رمزنگاری منحنی بیضوی (ECC) یک رمزنگاری به روش کلید عمومی است که بر اساس ساختاری جبری از منحنی های بیضوی بر روی میدانهای متناهی طراحی شده است. ECC در مقایسه با بقیه رمزنگاری های مبتنی بر میدانهای گالوا به کلید کوچکتری نیاز دارد. استفاده از منحنی های بیضوی در رمزنگاری به طور جداگانه توسط نیل کوبلیتز و ویکتور س. میلر در سال ۱۹۸۵ پیشنهاد شد.
ویکی پدیای انگلیسی
منحنی های بیضوی برای توافق کلیدی، امضاهای دیجیتال، ژنراتورهای شبه تصادفی و سایر وظایف کاربرد دارند. به طور غیر مستقیم، آنها با ترکیب توافق کلید با طرح رمزنگاری متقارن می توانند برای رمزگذاری مورد استفاده قرار گیرند. منحنی های بیضوی همچنین در چندین الگوریتم فاکتورگیری عدد صحیح نیز استفاده شده است که این الگوریتم ها دارای کاربردهایی در زمینهٔ رمزنگاری هستند، مانند فاکتور منحنی بیضوی Lenstra.
رمزنگاری کلید عمومی مبتنی بر اشکالات برخی از مسائل ریاضی است. در اوایل سیستم های مبتنی بر کلید عمومی با این فرض که پیدا کردن دو یا بیشتر از دو عامل اول بزرگ برای یک عدد صحیح بزرگ مشکل است امن تلقی می شدند. برای پروتکلهای مبتنی بر منحنی بیضوی، فرض بر این است که پیدا کردن لگاریتم گسسته از یک عنصر تصادفی منحنی بیضوی با توجه به یک نقطه پایهٔ عمومی شناخته شده غیر عملی می باشد. اندازه منحنی بیضوی تعیین کننده سختی مسئله است. مزیت اصلی که توسط ECC وعده داده می شد یک کلید با اندازه کوچکتر بود، که این موضوع به معنی کاهش ذخیره سازی و انتقال مورد نیاز است، به این معنی که، یک سیستم منحنی بیضوی می تواند همان سطح از امنیت را که یک سیستم مبتنی بر RSA با ماژول های بزرگ و طول بلند کلید فراهم می کند را ایجاد کند، به عنوان مثال، یک کلید عمومی ۲۵۶ بیتی مبتنی بر ECC می بایست امنیت قابل مقایسه ای با یک کلید عمومی ۳۰۷۲ بیتی مبتنی بر RSA داشته باشد. برای اهداف امروزی رمزنگاری، منحنی بیضوی یک منحنی مسطح است که متشکل از نقاط رضایت بخش معادله می باشد. y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b\,\!} همراه با یک نقطه برجسته در بی نهایت (نشان داده شده به شکل ∞)(مختصات در اینجا از یک حوزه ثابت متناهی از مشخصه که با ۲ یا ۳ برابر نیست انتخاب می شوند، یا اینکه معادله منحنی تا حدودی پیچیده تر خواهد بود)این مجموعه همراه با عملیات گروهی از نظریه گروه بیضوی از گروه Abelian، با نقطه ای در بینهایت به عنوان عنصر هویت می باشند. ساختار گروه از گروه مقسوم علیه تنوع جبری زیرین ارث بری می کند.همان طور که برای دیگر سیستم های رمزنگاری کلید عمومی محبوب، بدون اثبات ریاضی برای امنیت ECC از سال ۲۰۰۹ منتشر شد. با این حال، آژانس امنیت ملی ایالات متحده ECC و از جمله طرح های مبتنی بر آن را در سوئیت B خود قرار داد، که مجموعه ای از الگوریتم های توصیه شده بود و با این کار این الگوریتم را تأیید کرد و اجازه داد تا از آن برای حفاظت از اطلاعات طبقه بندی شده و محرمانه با کلید ۳۸۴ بیتی استفاده شود. در حالی که حق ثبت اختراع RSA در سال ۲۰۰۰ منقضی می شد، سیستم های ثبت اختراع به شدت در حال ثبت برخی از ویژگی های تکنولوژی ECC بودند. هر چند برخی استدلال می کردند که امضای دیجیتال منحنی بیضوی استاندارد فدرال (ECDSA NIST FIPS 186-3) و برخی طرح های تبادل کلید قابل انجام مبتنی بر ECC (شامل ECDH) را می توان بدون نقض این حقوق نیز استفاده نمود.
امنیت کاملECC بستگی به توانایی محاسبهٔ ضرب نقطه ای و عدم توانایی برای محاسبه حاصلضرب با توجه به نقاط اصلی و نقاط تولید شده دارد.
ویکی پدیای انگلیسی
منحنی های بیضوی برای توافق کلیدی، امضاهای دیجیتال، ژنراتورهای شبه تصادفی و سایر وظایف کاربرد دارند. به طور غیر مستقیم، آنها با ترکیب توافق کلید با طرح رمزنگاری متقارن می توانند برای رمزگذاری مورد استفاده قرار گیرند. منحنی های بیضوی همچنین در چندین الگوریتم فاکتورگیری عدد صحیح نیز استفاده شده است که این الگوریتم ها دارای کاربردهایی در زمینهٔ رمزنگاری هستند، مانند فاکتور منحنی بیضوی Lenstra.
رمزنگاری کلید عمومی مبتنی بر اشکالات برخی از مسائل ریاضی است. در اوایل سیستم های مبتنی بر کلید عمومی با این فرض که پیدا کردن دو یا بیشتر از دو عامل اول بزرگ برای یک عدد صحیح بزرگ مشکل است امن تلقی می شدند. برای پروتکلهای مبتنی بر منحنی بیضوی، فرض بر این است که پیدا کردن لگاریتم گسسته از یک عنصر تصادفی منحنی بیضوی با توجه به یک نقطه پایهٔ عمومی شناخته شده غیر عملی می باشد. اندازه منحنی بیضوی تعیین کننده سختی مسئله است. مزیت اصلی که توسط ECC وعده داده می شد یک کلید با اندازه کوچکتر بود، که این موضوع به معنی کاهش ذخیره سازی و انتقال مورد نیاز است، به این معنی که، یک سیستم منحنی بیضوی می تواند همان سطح از امنیت را که یک سیستم مبتنی بر RSA با ماژول های بزرگ و طول بلند کلید فراهم می کند را ایجاد کند، به عنوان مثال، یک کلید عمومی ۲۵۶ بیتی مبتنی بر ECC می بایست امنیت قابل مقایسه ای با یک کلید عمومی ۳۰۷۲ بیتی مبتنی بر RSA داشته باشد. برای اهداف امروزی رمزنگاری، منحنی بیضوی یک منحنی مسطح است که متشکل از نقاط رضایت بخش معادله می باشد. y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b\,\!} همراه با یک نقطه برجسته در بی نهایت (نشان داده شده به شکل ∞)(مختصات در اینجا از یک حوزه ثابت متناهی از مشخصه که با ۲ یا ۳ برابر نیست انتخاب می شوند، یا اینکه معادله منحنی تا حدودی پیچیده تر خواهد بود)این مجموعه همراه با عملیات گروهی از نظریه گروه بیضوی از گروه Abelian، با نقطه ای در بینهایت به عنوان عنصر هویت می باشند. ساختار گروه از گروه مقسوم علیه تنوع جبری زیرین ارث بری می کند.همان طور که برای دیگر سیستم های رمزنگاری کلید عمومی محبوب، بدون اثبات ریاضی برای امنیت ECC از سال ۲۰۰۹ منتشر شد. با این حال، آژانس امنیت ملی ایالات متحده ECC و از جمله طرح های مبتنی بر آن را در سوئیت B خود قرار داد، که مجموعه ای از الگوریتم های توصیه شده بود و با این کار این الگوریتم را تأیید کرد و اجازه داد تا از آن برای حفاظت از اطلاعات طبقه بندی شده و محرمانه با کلید ۳۸۴ بیتی استفاده شود. در حالی که حق ثبت اختراع RSA در سال ۲۰۰۰ منقضی می شد، سیستم های ثبت اختراع به شدت در حال ثبت برخی از ویژگی های تکنولوژی ECC بودند. هر چند برخی استدلال می کردند که امضای دیجیتال منحنی بیضوی استاندارد فدرال (ECDSA NIST FIPS 186-3) و برخی طرح های تبادل کلید قابل انجام مبتنی بر ECC (شامل ECDH) را می توان بدون نقض این حقوق نیز استفاده نمود.
امنیت کاملECC بستگی به توانایی محاسبهٔ ضرب نقطه ای و عدم توانایی برای محاسبه حاصلضرب با توجه به نقاط اصلی و نقاط تولید شده دارد.
wiki: رمزنگاری منحنی بیضوی