تابع تحلیلی مختلط یا توابع هولومورف موضوع اصلی در مطالعهٔ آنالیز مختلط هستند. آن ها توابعی هستند که بر روی یک زیر مجموعهٔ باز از صفحهٔ مختلط C تعریف شده اند با مقادیری در C که در هر نقطه مشتق مختلط دارند. iهولومورف بودن یک شرط قویتر از مشتق پذیری مختلط است و دلالت بر این دارد که تابع بینهایت بار مشتق پذیر است و می تواند با سری تیلوراش نشان داده شود. واژهٔ تابع تحلیلی اغلب به طور قابل معاوضه به جای «تابع هولومورف» استفاده می شود. اگرچه دقت شود که عبارت اول معانی دیگری نیز دارد. تابعی که بر کل صفحهٔ مختلط هولومورفیک باشد تابع تام نامیده می شود. عبارت «هولومورفیک در نقطهٔ a» به معنی نه تنها مشتق پذیر در a، بلکه مشتق پذیر در هر جا درون یک دیسک باز به مرکز a (یک همسایگی a) در صفحهٔ مختلط است.
تابع مرومورفیک
تابع تام
اگر U یک زیر مجموعهٔ باز از C و f: U→ C یک تابع باشد، می گوییم f در نقطهٔ z۰ از U مشتق مختلط دارد اگر حد
وجود داشته باشد.در اینجا حد بر روی تمام دنباله های اعداد مختلط که به z۰ میل می کنند گرفته شده است، و برای تمام چنین دنباله هایی حد باید به عدد f '(z۰) میل کند. به طور مستقیم، اگر f در z۰ مشتق پذیر مختلط بوده و ما در جهت r به z۰ نزدیک شویم، آنگاه تصاویر نقاط از جهت f '(z۰) r به f(z۰) نزدیک می شوند، که ضرب آخر ضرب اعداد مختلط است. این مفهوم مشتق پذیری چند خصوصیت مشترک با مشتق پذیری حقیقی دارد: خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می کند.اگر f در هر نقطه z۰ از U مشتق پذیر مختلط باشد، می گوییم f بر U هولومورفیک است. می گوییم f در نقطهٔ z۰ هولومورفیک است اگر که در یک همسایگی از z۰ هولومورفیک باشد. می گوییم f در مجموعهٔ غیر باز A هولومورفیک است اگر در یک مجموعهٔ باز شامل A هولومورفیک باشد.یک تعریف معادل بدین صورت است. تابع مختلط f(x +iy) =u +iv هولومورفیک است اگر و تنها اگر در معادلات کوشی-ریمان صدق کند و u و v مشتقات جزئی اول پیوسته بر حسب x و y داشته باشند.
تمام توابع چندجمله ای در z با ضرایب مختلط بر C هولومورفیک اند، و بنابراین سینوس، کسینوس، و تابع نمایی چنین اند. (توابع مثلثاتی در حقیقت به طور نزدیک وابسته به تابع نمایی اند و به وسیلهٔ فرمول اویلر می توانند توسط تابع نمایی تعریف شوند). شاخهٔ اصلی تابع لگاریتم در مجموعهٔ C - {z ∈ R: z ≤ ۰} هولومورفیک است. تابع ریشه می تواند به صورت
تابع مرومورفیک
تابع تام
اگر U یک زیر مجموعهٔ باز از C و f: U→ C یک تابع باشد، می گوییم f در نقطهٔ z۰ از U مشتق مختلط دارد اگر حد
وجود داشته باشد.در اینجا حد بر روی تمام دنباله های اعداد مختلط که به z۰ میل می کنند گرفته شده است، و برای تمام چنین دنباله هایی حد باید به عدد f '(z۰) میل کند. به طور مستقیم، اگر f در z۰ مشتق پذیر مختلط بوده و ما در جهت r به z۰ نزدیک شویم، آنگاه تصاویر نقاط از جهت f '(z۰) r به f(z۰) نزدیک می شوند، که ضرب آخر ضرب اعداد مختلط است. این مفهوم مشتق پذیری چند خصوصیت مشترک با مشتق پذیری حقیقی دارد: خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می کند.اگر f در هر نقطه z۰ از U مشتق پذیر مختلط باشد، می گوییم f بر U هولومورفیک است. می گوییم f در نقطهٔ z۰ هولومورفیک است اگر که در یک همسایگی از z۰ هولومورفیک باشد. می گوییم f در مجموعهٔ غیر باز A هولومورفیک است اگر در یک مجموعهٔ باز شامل A هولومورفیک باشد.یک تعریف معادل بدین صورت است. تابع مختلط f(x +iy) =u +iv هولومورفیک است اگر و تنها اگر در معادلات کوشی-ریمان صدق کند و u و v مشتقات جزئی اول پیوسته بر حسب x و y داشته باشند.
تمام توابع چندجمله ای در z با ضرایب مختلط بر C هولومورفیک اند، و بنابراین سینوس، کسینوس، و تابع نمایی چنین اند. (توابع مثلثاتی در حقیقت به طور نزدیک وابسته به تابع نمایی اند و به وسیلهٔ فرمول اویلر می توانند توسط تابع نمایی تعریف شوند). شاخهٔ اصلی تابع لگاریتم در مجموعهٔ C - {z ∈ R: z ≤ ۰} هولومورفیک است. تابع ریشه می تواند به صورت
wiki: تابع تحلیلی مختلط