تابع دیریکله

تابع دیریکله تابعی است که در سال ۱۸۲۹ توسط ریاضیدان آلمانی، یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله معرفی شد و چنین تعریف می شود:
اگر y گویا باشد، آنگاه f(y) = ۱. برای اینکه نشان دهیم این تابع در y پیوسته نیست، نیاز به یافتن یک ε داریم به طوری که بدون توجه به اینکه δ چقدر کوچک انتخاب شود، یک نقطه مانند z در فاصله δ از y وجود دارد به طوری که (f(z در داخل محدوده با فاصله ε از f(y) = ۱ قرار نمی گیرد. در واقع ۱/۲ یک چنین عددی است. از آنجا که اعداد ناگویا بر روی اعداد حقیقی مجموعه متراکم به حساب می آیند، بدون توجه به δ انتخاب شده، می توانیم یک z ناگویا در فاصله δ از y و پیدا کنیم، و f(z) = ۰ حداقل به اندازه ۱/۲ از ۱ فاصله دارد.
اگر y ناگویا باشد، آنگاه f(y) = ۰. عیناً، می توانیم ε = ۱/۲ را انتخاب کنیم، و حال، از آنجا که اعداد گویا بر روی اعداد حقیقی فشرده هستند، می توانیم یک z را به گونه ای انتخاب کنیم که یک عدد گویا باشد و به اندازه کافی به y نزدیک باشد. بدین صورت، f(z) = ۱ بیشتر از ۱/۲ با f(y) = ۰ فاصله دارد. به عبارت ساده تر، بین هر دو عدد ناگویا، یک عدد گویا وجود دارد و بالعکس.
اگر f : R ↦ { 0 , 1 } {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \mapsto \{0,1\}} آنگاه
یعنی اگر x عددی گویا باشد، مقدار تابع دیریکله ۱ و اگر x عددی گنگ باشد، مقدار تابع دیریکله ۰ خواهد شد. از جمله ویژگی های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه ای از R {\displaystyle \mathbb {R} } (اعداد حقیقی) پیوسته نمی باشد. این تابع همچنین در هیچ نقطه و بازه ای دارای حد و انتگرال پذیر نمی باشد. به این ترتیب نموداری از آن نمی توان رسم کرد.
ادعا می کنیم که تابع دیریکله در هیچ نقطه ای از R {\displaystyle \mathbb {R} }   پیوسته نیست.