قطب و خط قطبی

در هندسه، قطب و خط قطبی (انگلیسی: Pole and polar) به ترتیب نقطه و خطی هستند که رابطهٔ بازگشتی یکتایی نسبت به یک مقطع مخروطی معین دارند.
اگر نقطهٔ P روی خط l باشد، قطب L متعلق به خط l روی خط قطبی p مرتبط با نقطهٔ P است.
اگر نقطهٔ P در راستای خط l حرکت کند، خط قطبی اش (p) به دور قطب L خط l خواهد چرخید.
اگر بتوان دو خط مماس از قطب به یک مقطع مخروطی رسم کرد، خط قطبی آن قطب هر دو را قطع می کند.
اگر نقطه ای روی یک مقطع مخروطی باشد، خط قطبی آن مماسی است که از این نقطه به مقطع مخروطی می رود.
اگر نقطه P روی خط قطبی خودش باشد، آنگاهP روی مقطع مخروطی است.
هر خطی نسبت به یک مقطع مخروطی یک و فقط یک قطب دارد.
قطب و خط قطبی ویژگی های مفیدی دارند که برخی از آن ها عبارتند از:
کارل گئورگ کریستیان فان اشتات (۱۷۹۸ - ۱۸۶۷) نشان داد که رابطه ای که یک مقطع مخروطی بین قطب و خط قطبی ایجاد می کند از خود منحنی بنیادی تر است و می تواند برای تعریف این منحنی ها به شکلی متقارن و برگشتی (به عنوان مکان هندسی نقاطی که روی خط قطبی خودشانند، یا پوش (ریاضی) ‏(en)‏ خطوطی که از قطب خودشان می گذرند) به کار رود.
اگر معادلهٔ بیضی را از معادلهٔ عام منحنی های درجهٔ دوم نوشته شود ( A x x x 2 + 2 A x y x y + A y y y 2 + 2 B x x + 2 B y y + C = 0 ) {\displaystyle (A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0)}  ، معادلهٔ خط قطبی نقطهٔ ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )}   عبارت خواهد بود از: