در مسایل بهینه سازی ریاضی یکی از روش های حل، استفاده از دوگان مسئله می باشد یعنی حل مسئله بهینه سازی از طریق دوگان. یعنی ابتدا لاگرانژی مسئله اصلی را می نویسیم و سپس تابع دوگان مسئله را با کمک لاگرانژی می نویسیم و سپس مسئله دوگان را با کمک تابع دوگان تعریف می کنیم و در نهایت با حل مسئله دوگان می توانیم به حل مسئله اصلی برسیم. در این مبحث سعی می کنیم توضیح دهیم در صورتی که شرط اسلیتر در مسئله اصلی برقرار باشد آنگاه پاسخ مسئله دوگان قطعاً پاسخ مسئله اصلی است و به اصطلاح دوگانی قوی برقرار می باشد.
اگر پاسخ مسئله اصلی را d ∗ {\displaystyle d^{*}} و پاسخ مسئله دوگان را p ∗ {\displaystyle p^{*}} بنامیم در آن صورت اختلاف بین آن دو را فاصله دوگانی می نامیم.
همیشه برای تمامی مسایل بهینه سازی محدب و غیر محدب دوگانی ضعیف برقرار است یعنی d ∗ = max λ ≥ 0 , ν g ( λ , ν ) =< inf f 0 = p ∗ {\displaystyle d^{*}=\max _{\lambda \geq 0,\nu }g(\lambda ,\nu )=<\inf f_{0}=p^{*}} ولی دوگانی قوی تنها زمانی برقرار است که d ∗ = max λ ≥ 0 , ν g ( λ , ν ) = inf f 0 = p ∗ {\displaystyle d^{*}=\max _{\lambda \geq 0,\nu }g(\lambda ,\nu )=\inf f_{0}=p^{*}} و این در مسایل بهینه سازی محدب زمانی اتفاق می افتد که شرط اسلیتر برقرار باشد.
در مسایل بهینه سازی استاندارد که به شکل زیر می باشد
اگر پاسخ مسئله اصلی را d ∗ {\displaystyle d^{*}} و پاسخ مسئله دوگان را p ∗ {\displaystyle p^{*}} بنامیم در آن صورت اختلاف بین آن دو را فاصله دوگانی می نامیم.
همیشه برای تمامی مسایل بهینه سازی محدب و غیر محدب دوگانی ضعیف برقرار است یعنی d ∗ = max λ ≥ 0 , ν g ( λ , ν ) =< inf f 0 = p ∗ {\displaystyle d^{*}=\max _{\lambda \geq 0,\nu }g(\lambda ,\nu )=<\inf f_{0}=p^{*}} ولی دوگانی قوی تنها زمانی برقرار است که d ∗ = max λ ≥ 0 , ν g ( λ , ν ) = inf f 0 = p ∗ {\displaystyle d^{*}=\max _{\lambda \geq 0,\nu }g(\lambda ,\nu )=\inf f_{0}=p^{*}} و این در مسایل بهینه سازی محدب زمانی اتفاق می افتد که شرط اسلیتر برقرار باشد.
در مسایل بهینه سازی استاندارد که به شکل زیر می باشد