تصاعد هندسی

در ریاضیات، تصاعد هندسی ( به انگلیسی: geometric progression ) به دنباله ای از اعداد گفته می شود که از جمله اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت و ناصفر . به این عدد ثابت قدر نسبت تصاعد گفته می شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، . . . یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را سری هندسی می نامند.
شکل کلی دنباله های هندسی به صورت زیر نوشته می شود:
بنابراین شکل کلی سری هندسی به صورت زیر خواهد بود:
در رابطه های بالا جملهٔ اول دنباله و r ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد بود.
محتویات
۱ ویژگی های اولیه
۲ سری های هندسی
۲. ۱ سری های هندسی نامتناهی
۲. ۲ اعداد مختلط
۳ ضرب
۴ جستارهای وابسته
۵ منابع
۶ پیوند به بیرون
ویژگی های اولیه [ویرایش]
n امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت r و جملهٔ اول به صورت زیر نوشته می شود:
همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی می توان گفت:
رفتار جمله های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته است. چنانچه قدر نسبت تصاعد:
مثبت باشد، جمله های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
منفی باشد، جمله های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
بزرگتر از ۱ باشد، جمله های دنباله رشد نمایی به سمت مثبت بی نهایت خواهند داشت.
۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
میان ۱ و ۱ - باشد ولی صفر نباشد، جمله های بعدی دنباله به سمت صفر کاهش می یابند.
۱ - باشد، جمله های بعدی تشکیل یک دنبالهٔ متناوب را خواهند داد.
کوچکتر از ۱ - باشد، قدر مطلق جمله های دنباله رشد نمایی خواهند داشت و هر یک از آن ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی بی نهایت میل خواهند کرد.
در صورتی که در دنباله های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱ - نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی نهایت ( بسته به علامت جمله ها ) یا به سمت صفر خواهیم بود.
سری های هندسی [ویرایش]
نوشتار اصلی: سری هندسی
سری هندسی به مجموع جمله های یک دنبالهٔ هندسی گفته می شود.
اگر دو سوی تساوی را در ضرب کنیم به رابطهٔ ساده تری می رسیم و خواهیم داشت:
برای یک سری هندسی در صورتی که r ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می شود:
اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند m شروع کنیم:
مشتق این رابطه نسبت به r باعث می شود تا به رابطه ای برای مجموع برسیم:
برای نمونه:
یک سری هندسی که تنها توان های زوج r را دارد را باید در : ضرب کرد:
آنگاه
و برای سری که توان های فرد r را دارد:
و
سری های هندسی نامتناهی
نوشتار اصلی: سری هندسی
یک سری هندسی نامتناهی یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱ |r|. مقدار آن ها را می توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:
از آنجایی که:
آنگاه
برای سری که تنها توان های زوج را دارد:
و برای توان های فرد:
در صورتی که مجموع از شمارشگر k = ۰ شروع نشود:
رابطه ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱ |r| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می توانیم از مشتق گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:
رابطهٔ بالا تنها برای ۱ |r| کار می کند. همچنین برای۱ |r| می توان نوشت:
سری های نامتناهی مانند ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + • • • وجود دارند که مطلقا همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:
وارون سری بالا ۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + • • • خود یک نمونه از سری های متناوب است که مطلقا همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:
اعداد مختلط
رابطه هایی که برای مجموع سری های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق r کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط r کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می شوند. برای نمونه:
چون:
که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:
.
که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.
ضرب
ضرب یک تصاعد هندسی به معنی ضرب تمامی جمله های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله های آن مثبت باشد، می توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. ( این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه است. )
( if ) .
اثبات: اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:
.
پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:
.
با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:
.
.
دو سوی تساوی را به توان ۲ می رسانیم:
.
در نتیجهٔ این کار:
and
,
اثبات شد.
جستارهای وابسته [ویرایش]
دنباله
سری هندسی
توماس مالتوس
تابع نمایی
تصاعد حسابی
منابع
Hall & Knight, Higher Algebra, p. ۳۹, ISBN 81 - 8116 - 000 - 2
Eric W. Weisstein, Geometric Series at MathWorld.
مشارکت کنندگان ویکی پدیا، «Geometric progression»، ویکی پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد ( بازیابی در ‏۱۹ اوت ۲۰۱۱ ) .
ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب های درسی، ۱۳۸۰ ( کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشتهٔ نظری )
پیوند به بیرون
Derivation of رابطه ها . . .

تصاعد هندسی. ( ریاضیات ) دُنباله ای مُرتّب از اعداد و یا توابع است که از جملهٌ دوّم به بعد نسبتِ ( حاصل تقسیمِ ) هر جمله به جملهٌ ماقبل آن یک عدد و یا تابع مشخص است. برای مثال،
{1, 2, 4, 8, 16, . . . }
یک تصاعد هندسی می باشد، چرا که 2/1 = 2، 4/2 = 2، 8/4 = 2، الی آخر. همچنین
{x^4, x^3, x^2, x, . . . }
یک تصاعد هندسی می باشد، چرا که x^3/x^2 = x ، x^2/x = x، الی آخر.
واژه های
Geometrical progression
Geometrical sequence
و
Geometrical series
مترادف های انگلیسیِ تصاعد هندسی می باشند.