تحلیل عاملی

در آمار، تحلیل عاملی روشی است برای تحلیل واریانس بین چند متغیر وابسته براساس توصیف آنها برحسب تعداد اندکی متغیر (عامل) نهان. به عبارت دیگر، تحلیل عاملی می خواهد داده های پیچیده را با توصیف آنها برحسب تعداد کمتری متغیر ساده سازی کند. تحلیل عاملی ابتدا در زمینهٔ روان سنجی آغاز شد و در علوم اجتماعی، بازاریابی، مدیریت تولید، تحقیق در عملیات و هر زمینه ای که نیاز به تحلیل مقادیر وسیعی از داده دارد استفاده می شود.
Wikipedia contributors, "Factor analysis," Wikipedia, The Free Encyclopedia, (accessed February 22, 2014).
تعریف ریاضی تحلیل عاملی به صورت زیر است: فرض کنید p {\displaystyle p} متغیر تصادفی x 1 , … , x p {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{p}} با میانگین های μ 1 , … , μ p {\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{p}} داده شده اند. فرض کنید ثابت های مجهول l i j {\displaystyle l_{ij}} و k {\displaystyle k} متغیر مشاهده نشدهٔ F j {\displaystyle F_{j}} ، داده شده اند که i ∈ 1 , … , p {\displaystyle i\in {1,\dots ,p}} و j ∈ 1 , … , k {\displaystyle j\in {1,\dots ,k}} ، و k < p {\displaystyle k<p} و متغیرهای مشاهده شده براساس رابطهٔ زیر می توانند توصیف شوند:
که در آن ε i {\displaystyle \varepsilon _{i}} متغیرهای خطا هستند که از همدیگر مستقل اند و واریانس محدود و نه لزوماً یکسان دارند. به صورت ماتریسی می توان تمام معادله های بالا برحسب i {\displaystyle i} را به صورت زیر یکجا نوشت:
همچنین فرض های زیر را در مورد متغیرها داریم: