ضرایب لاگرانژ، نام روشی است در بهینه سازی برای یافتن بیشینه و کمینه موضعی برای توابع با داشتن یک یا چند قید برابری. این روش به افتخار ژوزف لویی لاگرانژ به این نام نام گذاری شده است.
به عنوان مثال در شکل ۱ مسئله بهینه سازی را به صورت زیر در نظر بگیرید. Maximize f(x،y) Subject to g(x،y)=c
که می توان تابع داده شده را بصورت زیر نوشت f(x،y)=d
برای تمام نقاط مختلف از d و مسیر g که با g(x،y)=c داده شده اند، فرض کنیم که در طول مسیر g=c در حال قدم زدن هستیم که مسیرهای f و g می توانند کاملاً متفاوت باشند. بنابراین ادامه دادن از مسیر g می تواند مسیر f را قطع و یا از آن عبور کند (مماس). زمانیکه بردار مماس f و g موازی باشند این دو مسیر بر هم مماس می شوند و در این حالت گرادیان آنها بر دو مسیر عمود می شوند. و این مانند این گفته است که بگوییم گرادیان آنها با هم موازی باشد. بنابراین ما نقطه ای مانند (x،y) می خواهیم جایی که g(x،y)=c و ∇_(x،y) f=-λ. ∇_(x،y) g
که در آن ∇_(x،y) f=(∂f/∂x، ∂f/∂y)، ∇(x،y) g=(∂g/∂x، ∂g/∂y) شیب های مربوطه می باشند. در اینجا به ضریب λ نیاز است زیرا هرچند که هر دو بردار گرادیان موازی هستند ولی الزاماً اندازه آنها باهم برابر نیست. با ترکیب کردن معادلات بالا در یک معادله واحد معادله کمکی زیر را بدست می آوریم.
ᴧ(x،y، λ)=f(x،y)+λ.(g(x،y)-c) و معادله زیر را حل می کنیم.
∇_(x،y، λ) ᴧ(x،y، λ)=۰
که روش ضرایب لاگرانژ می باشد. توجه شود که ∇_λ ᴧ(x،y، λ)=۰ دلالت بر g(x،y)=c می کند.
مثال:
با استفاده از روش لاگرانژ بیشترین مقدار تابع f(x،y)=x+y را تحت شرایط x^2+y^2=0.۵ بدست آورید. حل: با استفاده از فرمول روش لاگرانژ داریم
ᴧ(x,y,λ)=f(x,y)+λ.(g(x,y)-c)=x+y+λ.(x^2+y^2-0.5) ᴧ(x,y,λ)=x+y+λ.(x^2+y^2-0.5
با مساوی صفر قرار دادن ∂ᴧ=0 دستگاه معادلات خطی زیر حاصل می شود. ∂ᴧ/∂x = 1+2 λx =0 (i) ∂ᴧ/∂y = 1+2 λy =0 (ii) ∂ᴧ/∂λ =x^2+y^2-0.5=0 (iii)
با ترکیب دو معادله (i) و (ii) و حل آنها نتیجه می شود x=y و با جایگذاری در معادله سوم خواهیم داشت.
x^2+y^2-0.5=0 (x=y) x^2+x^2-0.5=0 ⇒2x^2= 1/4 ⇒x^ = ±√(1/4)=±1/2 ⇒(x,y)^ =(+1/2 ,+ 1/2), (x,y)^ =(-1/2 ,-1/2
مقادیر تابع f(x,y) به ازای دو نقطه بدست آمده عبارتند از:
f(x,y) =f(+1/2 ,+ 1/2) = 1/2 + 1/2 = 1
f(x,y) =f(-1/2 ,- 1/2) = -1/2- 1/2 =-1
که +۱ مقدار ماکزیموم و -۱ مقدار مینیمم می باشد.
به عنوان مثال در شکل ۱ مسئله بهینه سازی را به صورت زیر در نظر بگیرید. Maximize f(x،y) Subject to g(x،y)=c
که می توان تابع داده شده را بصورت زیر نوشت f(x،y)=d
برای تمام نقاط مختلف از d و مسیر g که با g(x،y)=c داده شده اند، فرض کنیم که در طول مسیر g=c در حال قدم زدن هستیم که مسیرهای f و g می توانند کاملاً متفاوت باشند. بنابراین ادامه دادن از مسیر g می تواند مسیر f را قطع و یا از آن عبور کند (مماس). زمانیکه بردار مماس f و g موازی باشند این دو مسیر بر هم مماس می شوند و در این حالت گرادیان آنها بر دو مسیر عمود می شوند. و این مانند این گفته است که بگوییم گرادیان آنها با هم موازی باشد. بنابراین ما نقطه ای مانند (x،y) می خواهیم جایی که g(x،y)=c و ∇_(x،y) f=-λ. ∇_(x،y) g
که در آن ∇_(x،y) f=(∂f/∂x، ∂f/∂y)، ∇(x،y) g=(∂g/∂x، ∂g/∂y) شیب های مربوطه می باشند. در اینجا به ضریب λ نیاز است زیرا هرچند که هر دو بردار گرادیان موازی هستند ولی الزاماً اندازه آنها باهم برابر نیست. با ترکیب کردن معادلات بالا در یک معادله واحد معادله کمکی زیر را بدست می آوریم.
ᴧ(x،y، λ)=f(x،y)+λ.(g(x،y)-c) و معادله زیر را حل می کنیم.
∇_(x،y، λ) ᴧ(x،y، λ)=۰
که روش ضرایب لاگرانژ می باشد. توجه شود که ∇_λ ᴧ(x،y، λ)=۰ دلالت بر g(x،y)=c می کند.
مثال:
با استفاده از روش لاگرانژ بیشترین مقدار تابع f(x،y)=x+y را تحت شرایط x^2+y^2=0.۵ بدست آورید. حل: با استفاده از فرمول روش لاگرانژ داریم
ᴧ(x,y,λ)=f(x,y)+λ.(g(x,y)-c)=x+y+λ.(x^2+y^2-0.5) ᴧ(x,y,λ)=x+y+λ.(x^2+y^2-0.5
با مساوی صفر قرار دادن ∂ᴧ=0 دستگاه معادلات خطی زیر حاصل می شود. ∂ᴧ/∂x = 1+2 λx =0 (i) ∂ᴧ/∂y = 1+2 λy =0 (ii) ∂ᴧ/∂λ =x^2+y^2-0.5=0 (iii)
با ترکیب دو معادله (i) و (ii) و حل آنها نتیجه می شود x=y و با جایگذاری در معادله سوم خواهیم داشت.
x^2+y^2-0.5=0 (x=y) x^2+x^2-0.5=0 ⇒2x^2= 1/4 ⇒x^ = ±√(1/4)=±1/2 ⇒(x,y)^ =(+1/2 ,+ 1/2), (x,y)^ =(-1/2 ,-1/2
مقادیر تابع f(x,y) به ازای دو نقطه بدست آمده عبارتند از:
f(x,y) =f(+1/2 ,+ 1/2) = 1/2 + 1/2 = 1
f(x,y) =f(-1/2 ,- 1/2) = -1/2- 1/2 =-1
که +۱ مقدار ماکزیموم و -۱ مقدار مینیمم می باشد.
wiki: ضرایب لاگرانژ