جایگشت

جایگشت (به انگلیسی: Permutation) در قلمرو ترکیبیاتی آن به معنی مرتب سازی یا تغییر ترتیب اعضای یک مجموعه می باشد. ممکن است این چیدمان خطی یا غیر خطی (مثلاً دور یک دایره که در این حالت جایگشت دوری نامیده می شود) صورت گیرد. اعضای مجموعه نیز می توانند هر چیزی باشند مثلاً شی یا عدد یا حرف و همچنین می توانند تکراری باشند یا متمایز. در هر مورد، مهم، تعداد طرق چیدن این اعضا است.
به چند طریق می توان 4 کتاب فیزیک، شیمی، ریاضی و هندسه را کنار هم قرار داد؟ 4 ! = 24 {\displaystyle 4!=24}
به چند طریق می توان 5 پسر و 4 دختر را در یک ردیف قرار داد، به طوری که تمام پسر ها کنار هم و تمام دختر ها کنار هم باشند؟ 2 ! × 5 ! × 4 ! {\displaystyle 2!\times 5!\times 4!}
به چند روش می توان از بین 5 نفر، 3 نفر را انتخاب کرده و مدال های طلا، نقره و برنز را به آنها اهدا کرد؟ 5 ! ( 5 − 3 ) ! = 5 ! 2 ! = ( 5 3 ) × 3 ! {\displaystyle {\frac {5!}{(5-3)!}}={\frac {5!}{2!}}={\binom {5}{3}}\times 3!}
به چند روش می توان اعضای مجموعه { 1 , 2 , . . . , 2 n } {\displaystyle \{1,2,...,2n\}}  را جایگشت داد، به طوری که اعداد زوج در مکان های زوج و اعداد فرد در مکان های فرد ظاهر شوند؟ n ! × n ! = ( n ! ) 2 {\displaystyle n!\times n!=(n!)^{2}}
جایگشت (خطی): هر ترتیب dfsd (خطی) قرار گرفتن n شی در کنار هم را یک جایگشت می نامند.در مسایل ترکیبیاتی اکثراً تعداد جایگشت ها مد نظر است.
فرض کنید می خواهیم n {\displaystyle n}   دانش آموز (به عنوان اشیا متمایز) را در یک صف قرار دهیم:
در جایگاه اول ممکن است هر یک از n {\displaystyle n}   دانش آموز بایستند پس برای مکان اول (ابتدای صف) n {\displaystyle n}   حالت مختلف وجود دارد. در جایگاه دوم n − 1 {\displaystyle n-1}   دانش آموز باقی مانده (به جز دانش آموزی که در جایگاه اول صف ایستاده) می توانند قرار بگیرند پس تا اینجا به n × ( n − 1 ) {\displaystyle n\times (n-1)}   حالت مختلف توانستیم دو مکان اول را با دو دانش آموز پر کنیم. به همین ترتیب برای جایگاه سوم:

جایْگَشْت (permutation)
جایْگَشْت
جایْگَشْت
جایْگَشْت
جایْگَشْت
در ریاضیات متمایز، آرایش۱ یا رشتۀ مرتبی از همۀ عضوهای دسته ای از اشیاء یا تعدادی از آن ها. تعداد جایگشت های ممکنn شیء متمایز، اگر همۀ آن ها در هر جایگشت بیایند، برابر است با!n ، که! علامت فاکتوریل۲ است. مثلاً جایگشت های سه حرفی حروف z ,y ,x عبارت اند از zyx, zxy, yxz ,yzx ,xzy, xyz که تعداد آن ها برابر است با ۶ = ۳× ۲× ۱ =!۳، اما تعداد جایگشت های r شیء برگزیده از n شیء برابر است با(فرمول ۱).فرمول ۱:
مثلاً اگر شش حرف متفاوت الفبا را در نظر بگیریم، تعداد جایگشت های چهار حرف از میان این شش حرف برابر است با(فرمول ۲)با الفبایی که ۲۶ حرف دارد، تعداد کلمه های چهار حرفی ممکن، از لحاظ نظری، برابر است با (فرمول ۳).
فرمول ۲: فرمول ۳:
اگر بعضی اعضا در دستۀ n عضوی تکراری باشند، تعداد جایگشت ها برابر است با!n تقسیم بر حاصل ضرب فاکتوریل های اعدادی که نشان دهندۀ تعداد دفعات تکرار اعضای تکراری هستند. مثلاً اگر شش حرف a,a,a,b,b,c را در نظر بگیریم، چون a سه بار و b دوبار تکرار شده است، تعداد جایگشت ها برابر است با(فرمول۴)نیز ← ترکیب
فرمول ۴: arrangement factorial