تانسور

تانسور عنصری هندسی است که در ریاضی و فیزیک به منظور گسترش مفاهیم اسکالرها، بردارها و ماتریس ها به ابعاد بالاتر معرفی می شوند. تانسورها اولین بار توسط تولیو لوی-چیویتا و گرگریو ریتچی-کورباسترو ابداع شدند. در واقع کار آن ها ادامه کارهای برنهارت ریمان و الوین برونو کریستوفل و دیگران در حساب دیفرانسیل مطلق بود.
تانسور آرایه ای است از اعداد که در یک جدول چیده شده اند. این جدول در حالت کلی می تواند به صورت N × M × O × P × . . . {\displaystyle N\times M\times O\times P\times ...} باشد که حروف بزرگ هر کدام می توانند نمایندهٔ یک عدد طبیعی باشند و × {\displaystyle \times } نشان دهندهٔ عمل ضرب بین آنهاست. تانسور در ساده ترین حالت می تواند یک عضو داشته باشد که به آن تانسور، اسکالر گوییم. در حالت کمی پیشرفته تر تانسور می تواند به صورت بردار باشد. یعنی وقتی شما بردار A {\displaystyle A} را به صورت ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} نشان می دهید در حقیقت یک تانسور دارید. در حالتی باز هم پیشرفته تر تانسور می تواند دو بعدی باشد (به صورت ماتریسی). یعنی مثلاً جدول ما 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} باشد یعنی دو سطر و دو ستون داشته باشد.
چنین تانسوری دارای ۴ عضو است. به طور کلی تانسورهای دو بعدی و بالاتر از دو بعد را با نام ماتریس هم می شناسند. ماتریس ها از آن جهت مورد استفاده قرار می گیرند که باعث ایجاد نظم بین داده های یک مسئله و دسته بندی اطلاعات آن می شوند.
تعریف فوق همراه با ساده سازی است. یک تعریف دقیق تر از این قرار است:
یک تانسور رتبه (۰,۱) و N {\displaystyle N} -بعدی حقیقی مانند T {\displaystyle T} نگاشتی است خطی از R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} به R {\displaystyle \mathbb {R} } یعنی:
T ( a x + b y ) = a T ( x ) + b T ( y ) , ∀ x , y ∈ R N  and  a , b ∈ R . {\displaystyle T(ax+by)=aT(x)+bT(y),\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{N}{\hbox{ and }}a,b\in \mathbb {R} .}
اگر { e n } n = 1 n = N {\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{n=N}} یک پایه برای R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} باشد، آنگاه به مجموعه N {\displaystyle N} عدد T n {\displaystyle T_{n}} که از
T ( e n ) = T n {\displaystyle T(e_{n})=T_{n}}
به دست می آیند مؤلفه های T {\displaystyle T} در پایه { e n } n = 1 n = N {\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{n=N}} می گویند. می توان دید که مؤلفه های این تانسور، تحت تغییر پایه، رفتاری شبیه مؤلفه های یک بردار پادهموردا دارند. با یک نگاه کلی تر می توانیم R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} را با یک فضای برداری N {\displaystyle N} -بعدی دلخواه چون V {\displaystyle V} عوض کنیم. در این صورت معمول است که مجموعهٔ همه چنین تانسورهایی را با V ∗ {\displaystyle V^{*}} نشان دهیم.
به طور مشابه یک تانسور رتبه (۰,۲) به عنوان یک نکاشت دو-خطی از V × V {\displaystyle V\times V} به R {\displaystyle \mathbb {R} } تعریف می شود:
T ( a x + b y , z ) = a T ( x , z ) + b T ( y , z ) , ∀ x , y , z ∈ V  and  a , b ∈ R , {\displaystyle T(ax+by,z)=aT(x,z)+bT(y,z),\qquad \forall x,y,z\in V{\hbox{ and }}a,b\in \mathbb {R} ,} T ( z , a x + b y ) = a T ( z , x ) + b T ( z , y ) , ∀ x , y , z ∈ V  and  a , b ∈ R . {\displaystyle T(z,ax+by)=aT(z,x)+bT(z,y),\qquad \forall x,y,z\in V{\hbox{ and }}a,b\in \mathbb {R} .}
این بار به مجموعه N 2 {\displaystyle N^{2}} عدد T m , n {\displaystyle T_{m,n}} که با
T ( e m , e n ) = T m , n {\displaystyle T(e_{m},e_{n})=T_{m,n}}
تعریف می شوند مؤلفه های تانسور T {\displaystyle T} گفته می شود ( { e n } n = 1 n = N {\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{n=N}} پایهٔ V {\displaystyle V} است). مجموعه تمام این تانسورها را با V ∗ ⊗ V ∗ {\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}} نشان می دهیم و می نویسیم: T ∈ V ∗ ⊗ V ∗ {\displaystyle T\in V^{*}\otimes V^{*}} .
یک تانسور (۱,۰) چون T {\displaystyle T} عضوی است از فضای برداری V {\displaystyle V} . مؤلفه های این تانسور با شاخص های بالا و بدین ترتیب تعریف می شوند:
T = ∑ n = 1 n = N T n e n {\displaystyle T=\sum _{n=1}^{n=N}T^{n}e_{n}}
یک تانسور (۲,۰) عضوی از فضای برداری V ⊗ V {\displaystyle V\otimes V} است که با پایه های e m ⊗ e n {\displaystyle e_{m}\otimes e_{n}} تولید می شود. بنابراین چنین تانسوری با
T = ∑ m , n = 1 N T m n e m ⊗ e n {\displaystyle T=\sum _{m,n=1}^{N}T^{mn}e_{m}\otimes e_{n}}
داده می شود و T m n {\displaystyle T^{mn}} مؤلفه های آن نامیده می شوند.