ترتیب جزئی

یکی از موارد استفاده از رابطه ها مرتب کردن بعضی یا همهٔ اعضای یک مجموعه است. برای مثال ما برای مرتب کردن کلمات از رابطهٔ متشکل از زوج مرتب های (x, y) استفاده می کنیم، به شرطی که در ترتیب الفبایی x قبل از y باشد، یا مثلاً می توان مجموعهٔ اعداد صحیح را با رابطهٔ متشکل از زوج های (x,y) مرتب کرد که x کوچکتر از y باشد. اگر به مثال آخر اعضای (x,x) را اضافه کنیم، به رابطه ای می رسیم که خواص بازتابی، پادتقارنی و تعدی را داراست.
به ازای هر عدد صحیح a داریم a≤a.
به ازای هر دو عدد صحیح a,b، اگر b≤a و a≤b آنگاه a=b.
به ازای هر سه عدد صحیح a و b و c، اگر b≤a و c≤b. آنگاه c≤a.
این سه ویژگی، ویژگی های رابطه ای است که می تواند بخش یا همهٔ اعضای آن مجموعه را مرتب کند.
رابطهٔ R روی مجموعهٔ S، مرتب جزئی نامیده می شود، اگر دارای خواص بازتابی، پادتقارنی و تعدی باشد. یک مجموعه (S) و رابطهٔ مرتب جزئی روی آن (R) را می توان به صورت (S,R) نشان داد.
مثلاً رابطهٔ ≥ روی اعداد صحیح یک رابطهٔ مرتب جزئی است. چون