قضیه گرادیان

یکی از قضایای مهم در علم حساب دیفرانسیل و انتگرال می باشد که انتگرال خطی در امتداد مسیر یک منحنی را که تابعی از مسیر هست، مستقل از مسیر می کند.این رابطه در الکترو مغناطیس و میدان های گرانشی استفاده فراوان دارد.
فرض می شود که تابع   ϕ {\displaystyle \ \phi }   یک تابع نرده ای باشد.در آن صورت رابطه زیر برقرار است:
که در آن ∇ ϕ {\displaystyle \nabla \phi }   گرادیان تابع   ϕ {\displaystyle \ \phi }   بوده و q و p به ترتیب نقاط انتهایی و ابتدایی منحنی L هستند.
فرض کنید شما می خواهید ارتفاع برج میلاد را محاسبه کنید. می توانید یک خط کش به دست بگیرید و از پله های برج بالا بروید و ارتفاع هر پله را اندازه گرفته و در انتها این مقادیر را با هم جمع کنید. یا می توانید یک ارتفاع سنج (نسبت به سطح دریاهای آزاد) را برداشته و ارتفاع نوک برج میلاد و پایین آن را محاسبه و این دو مقدار را از هم کم کنید (طبعا این روش مناسبتر است!). نتیجه هر دو روش یکسان خواهد بود و این همان قضیه گرادیان است. در روش اول شما در واقع انتگرال گرادیان ارتفاع را و در روش دوم اختلاف ارتفاع در انتها و ابتدای مسیر را محاسبه کرده اید .