در علم آمار، قضیه گوس-مارکف (به انگلیسی: Gauss–Markov theorem) بیان می کند که در یک مدل خطی که خطاهای آن امید ریاضی صفر داشته، ناهمبسته بوده، و واریانس های مساوی دارند، بهترین برآوردگر خطی نااریب برای ضرایب سیستم برابر برآوردگر کمترین مربعات می باشد. شرح مدل خطی به صورت دقیقتر اینگونه است که
همهٔ آن ها دارای میانگین صفر می باشند:
E ( e e ′ ) = σ 2 I . {\displaystyle \ E(ee')=\sigma ^{2}I.} E ( e ) = 0 , {\displaystyle \ E(e)=0,} Y = X β + e , {\displaystyle \ Y=X\beta +e,}
بطوری که X {\displaystyle \ X} ماتریس مدل بوده که معلوم و ثابت است، β {\displaystyle \ \beta } برداری نامعلوم با ابعاد p × 1 {\displaystyle p\times 1} در فضای R p {\displaystyle \ R^{p}} است. بردار e {\displaystyle \ e} نیز بردار خطا می باشد. در اینجا بهترین به معنای آن است که برآوردگر مورد نظر کمترین واریانس را در مقایسه با سایر برآوردگرهای خطی، داشته باشد. لازم نیست جمله های خطا توزیع طبیعی داشته باشند یا توزیع مستقل و یکسان داشته باشند و فرض ضروری ناهمبسته بودن و واریانس همسانی جمله های خطا می باشد. این قضیه به افتخار کارل فریدریش گاوس و آندری مارکوف نام گذاری شده است.
تساوی زیر را که به شکل ماتریسی نوشته شده است، در نظر بگیرید:
همهٔ آن ها دارای میانگین صفر می باشند:
E ( e e ′ ) = σ 2 I . {\displaystyle \ E(ee')=\sigma ^{2}I.} E ( e ) = 0 , {\displaystyle \ E(e)=0,} Y = X β + e , {\displaystyle \ Y=X\beta +e,}
بطوری که X {\displaystyle \ X} ماتریس مدل بوده که معلوم و ثابت است، β {\displaystyle \ \beta } برداری نامعلوم با ابعاد p × 1 {\displaystyle p\times 1} در فضای R p {\displaystyle \ R^{p}} است. بردار e {\displaystyle \ e} نیز بردار خطا می باشد. در اینجا بهترین به معنای آن است که برآوردگر مورد نظر کمترین واریانس را در مقایسه با سایر برآوردگرهای خطی، داشته باشد. لازم نیست جمله های خطا توزیع طبیعی داشته باشند یا توزیع مستقل و یکسان داشته باشند و فرض ضروری ناهمبسته بودن و واریانس همسانی جمله های خطا می باشد. این قضیه به افتخار کارل فریدریش گاوس و آندری مارکوف نام گذاری شده است.
تساوی زیر را که به شکل ماتریسی نوشته شده است، در نظر بگیرید:
wiki: قضیه گوس مارکف