قضیه بزو

قضیه بزو قضیه ای قدرتمند برای حلقه های جابجایی مجهز به الگوریتم تقسیم است. دو حالت خاص این قضیه، در مورد اعداد طبیعی و چندجمله ای ها معروف و پرکاربرد است. این قضیه را نخستین بار ریاضیدان فرانسوی اتین بزو در کتابش «نظریه عمومی معادله های جبری» اثبات کرد.
بهشتی زواره، رویا، و مریم میرزاخانی. نظریه اعداد. تهران: انتشارات فاطمی.
فرض کنید a {\displaystyle \;a}   و b {\displaystyle \;b}   دو عدد صحیح باشند که دست کم یکی از آنها مخالف صفر است. در این صورت دو عدد صحیح r {\displaystyle \;r}   و s {\displaystyle \;s}   را می توان یافت به طوری که: d = r a + s b {\displaystyle \;d=ra+sb}   که در آن d {\displaystyle \;d}   ب. م. م a {\displaystyle \;a}   و b {\displaystyle \;b}   است. به عبارت دیگر حداقل یک ترکیب خطی از دو عدد صحیح a {\displaystyle \;a}   و b {\displaystyle \;b}   مساوی ب. م. م آن ها خواهد بود.
برای a = 10 {\displaystyle \;a=10}   و b = 24 {\displaystyle \;b=24}   یک ترکیب خطیشان باید برابر با ب. م. م شان، یعنی 2 {\displaystyle \;2}   شود. اگر قرار دهیم r = 5 , s = − 2 {\displaystyle \;r=5,s=-2}   آنگاه a x + b y = 10 × 5 + 24 × ( − 2 ) = 2 {\displaystyle \;ax+by=10\times 5+24\times (-2)=2}
مجموعه کلیه ترکیب های خطی مثبت a {\displaystyle \;a}   و b {\displaystyle \;b}   را P {\displaystyle \;P}   می نامیم. یعنی: