قضیه ویلسون (به انگلیسی: Wilson's theorem) قضیهای در نظریه اعداد است که توسط ریاضیدان انگلیسی جان ویلسون مطرح شده است. این قضیه بیان می کند به ازای هر عدد اول مانند p {\displaystyle \;p} داریم ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle \;(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}
۱_تعمیم گاوس:کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p
∏ k = 1 gcd ( k , m ) = 1 m k ≡ { − 1 ( mod m ) if m = 4 , p α , 2 p α 1 ( mod m ) otherwise {\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
در اینجا α {\displaystyle \alpha } عددی صحیح و مثبت است.
۱_تعمیم گاوس:کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p
∏ k = 1 gcd ( k , m ) = 1 m k ≡ { − 1 ( mod m ) if m = 4 , p α , 2 p α 1 ( mod m ) otherwise {\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
در اینجا α {\displaystyle \alpha } عددی صحیح و مثبت است.
wiki: قضیه ویلسون