در فیزیک، قضیه لیوویل، (که به ریاضیدان فرانسوی ژوزف لیوویل منسوب است) قضیه ای کلیدی در مکانیک هامیلتونی و آماری کلاسیکی است. او مدعی است که تابع توزیع فضای فاز در طول یک مسیر تحولی ثابت است، به این معنی که چگالی ذرات سیستم در مجاورت یک نقطه داده شده از سیستم در فضای فاز، دارای تحولی ثابت است. این چگالی مستقل از زمان در مکانیک آماری با عنوان احتمال پیشین شناخته شده است.نبو
معادلهٔ لیوویل زمان تحول یک تابع توزیع فضای فاز را توصیف می کند، اگر چه این معادله در اکثر اوقات به نام لیوویل شناخته شده است اما گیبس برای اولین بار به عنوان معادلهٔ پایه ای مکانیک آماری آن را معرفی کرد.
معادلهٔ لیوویل زمان تحول یک تابع توزیع فضای فاز را توصیف می کند، اگر چه این معادله در اکثر اوقات به نام لیوویل شناخته شده است اما گیبس برای اولین بار به عنوان معادلهٔ پایه ای مکانیک آماری آن را معرفی کرد.
wiki: توابع مختلط بیان می کند که یک تابع کراندار تام (تام به معنای تحلیلی بر روی کل صفحهٔ مختلط) تابعی ثابت است.
ترجمهٔ امیر خسروی، ویراستهٔ علی عمیدی، تألیف جیمز وارد براون و روئل و. چرچیل، متغیرهای مختلط و کاربردها، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ هفتم، (۱۳۸۶)
تألیف: مجمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، ویراستار: ارشک حمیدی، توابع مختلط، انتشارات فاطمی، چاپ یکم، (۱۳۸۲)
یک چندجمله ای P ( z ) = ∑ k = 0 n a k z k ∈ C {\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\in \mathbb {C} } هر گاه n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} دست کم دارای یک ریشه است.
طرحی از اثبات به کمک قضیهٔ لیوویل: فرض کنید برای هر عدد مختلط z {\displaystyle z} ای P ( z ) ≠ 0 {\displaystyle P(z)\neq 0} . بنابراین تابع f ( z ) = 1 P ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {1}{P(z)}}} تام است. اکنون با کمک نامساوی های | a | − | b | ≤ | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a|-|b|\leq |a+b|\leq |a|+|b|} یک عدد حقیقی مثبت مانند R {\displaystyle R} بیابید که برای هر نقطه بیرون از دایرهٔ به مرکز مبدأ مختصات و شعاع R {\displaystyle R} داشته باشیم | f ( z ) | ≤ 2 | a n | R n {\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {2}{|a_{n}|R^{n}}}} .
به کمک قضیه ای که بیان می کرد هر تابع پیوستهٔ حقیقی مقدار بر روی یک مجموعهٔ فشرده بیشینه و کمینهٔ مطلق خویش را اتخاذ می کند یک عدد حقیقی مثبت M {\displaystyle M} بیابید که برای هر نقطه درون و روی دایرهٔ یاد شده داشته باشیم | f ( z ) | ≤ M {\displaystyle |f(z)|\leq M} . اینک m a x { 2 | a n | R n , M } {\displaystyle max\{{\frac {2}{|a_{n}|R^{n}}},M\}} یک کران تابع f ( z ) {\displaystyle f(z)} است. پس f ( z ) {\displaystyle f(z)} تام و کراندار است و از قضیهٔ لیوویل باید تابعی ثابت باشد که در حالت n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} تناقض است. پس فرض خلف باطل و از آنجا چندجمله ای ما دارای ریشه است.
ترجمهٔ امیر خسروی، ویراستهٔ علی عمیدی، تألیف جیمز وارد براون و روئل و. چرچیل، متغیرهای مختلط و کاربردها، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ هفتم، (۱۳۸۶)
تألیف: مجمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، ویراستار: ارشک حمیدی، توابع مختلط، انتشارات فاطمی، چاپ یکم، (۱۳۸۲)
یک چندجمله ای P ( z ) = ∑ k = 0 n a k z k ∈ C {\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\in \mathbb {C} } هر گاه n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} دست کم دارای یک ریشه است.
طرحی از اثبات به کمک قضیهٔ لیوویل: فرض کنید برای هر عدد مختلط z {\displaystyle z} ای P ( z ) ≠ 0 {\displaystyle P(z)\neq 0} . بنابراین تابع f ( z ) = 1 P ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {1}{P(z)}}} تام است. اکنون با کمک نامساوی های | a | − | b | ≤ | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a|-|b|\leq |a+b|\leq |a|+|b|} یک عدد حقیقی مثبت مانند R {\displaystyle R} بیابید که برای هر نقطه بیرون از دایرهٔ به مرکز مبدأ مختصات و شعاع R {\displaystyle R} داشته باشیم | f ( z ) | ≤ 2 | a n | R n {\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {2}{|a_{n}|R^{n}}}} .
به کمک قضیه ای که بیان می کرد هر تابع پیوستهٔ حقیقی مقدار بر روی یک مجموعهٔ فشرده بیشینه و کمینهٔ مطلق خویش را اتخاذ می کند یک عدد حقیقی مثبت M {\displaystyle M} بیابید که برای هر نقطه درون و روی دایرهٔ یاد شده داشته باشیم | f ( z ) | ≤ M {\displaystyle |f(z)|\leq M} . اینک m a x { 2 | a n | R n , M } {\displaystyle max\{{\frac {2}{|a_{n}|R^{n}}},M\}} یک کران تابع f ( z ) {\displaystyle f(z)} است. پس f ( z ) {\displaystyle f(z)} تام و کراندار است و از قضیهٔ لیوویل باید تابعی ثابت باشد که در حالت n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} تناقض است. پس فرض خلف باطل و از آنجا چندجمله ای ما دارای ریشه است.