قضیه کیلی همیلتون

در جبر خطی و نظریه ماتریس ها، قضیه کیلی - همیلتون که به نام آرتور کیلی و ویلیام روان همیلتون نامگذاری شده است بیان می کند که هر ماتریس مربعی (بر روی یک حلقه جابه جایی مثل میدان اعداد حقیقی یا میدان اعداد مختلط) در معادله مشخصه خود صدق می کند.
W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions, Dublin 1853, pp. 566–569 (Theorem verified for quaternions)
A. Cayley: A Memoir on the Theory of Matrices, Phil.Trans. 1858, vol.148, pp. 17–37; Math. Papers II pp. 475–496. (Theorem verified for matrices of order ≤ 3)
G. Frobenius: Ueber lineare Substutionen und bilineare Formen, J.reine angew Math.(Crelle J.) vol.84, 1878, pp. 1–63. (First general proof)
فرض کنید ماتریس A ∈ R n × n {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}   ماتریسی با درایه های حقیقی، و نماد I n {\displaystyle I_{n}}   (یا به اختصار I {\displaystyle I}  ) معرف ماتریس همانی n × n {\displaystyle n\times n}   باشد. در این صورت اگر P ( λ ) {\displaystyle P(\lambda )}   معادله مشخصه ماتریس A باشد که به صورت P ( λ ) = d e t ( λ I n − A ) {\displaystyle P(\lambda )=det(\lambda I_{n}-A)}   تعریف می شود، آنگاه P ( A ) = 0 {\displaystyle P(A)=0}  .
دقت کنید که در محاسبه چندجمله ای مشخصه ماتریس A نهایتاً به عبارتی به صورت P ( λ ) = λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 {\displaystyle P(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}}  می رسیم و وقتی می نویسیم P ( A ) {\displaystyle P(A)}   منظورمان معادله ای ماتریسی است که در آن توانهای ماتریس A حضور دارند. همچنین جمله آخر چندجمله ای که حاوی عدد ثابت است و λ {\displaystyle \lambda }   ندارد را به صورت λ 0 {\displaystyle \lambda ^{0}}   تعبیر کرده و در معادله ماتریسی با ماتریس همانی ( A 0 = I n ) {\displaystyle (A^{0}=I_{n})}   جایگزین می کنیم تا معادله ماتریسی معنادار شود. نهایتاً می توان صورت قضیه را به شکل زیر بازنویسی کرد:
P ( A ) = A n + a n − 1 A n − 1 + ⋯ + a 1 A + a 0 I n = 0 {\displaystyle P(A)=A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I_{n}=0}