اگر A B C D {\displaystyle \;ABCD} یک چهار ضلعی دلخواه باشد آنگاه داریم A B × C D + B C × D A ≥ A C × B D {\displaystyle AB\times CD+BC\times DA\geq AC\times BD} و تساوی هنگامی اتفاق می افتد که A B C D {\displaystyle \;ABCD} یک چهارضلعی محاطی باشد.توجه: A C {\displaystyle \;AC} و B D {\displaystyle \;BD} دو قطر چهارضلعی اند.
اگر A B C {\displaystyle \;ABC} یک مثلث متساوی الاضلاع باشد و P {\displaystyle \;P} نقطه ای دلخواه بیرون از مثلث و درون زاویه A ^ {\displaystyle \;{\hat {A}}} آنگاه داریم P A ≥ P B + P C {\displaystyle PA\geq PB+PC} و هنگامی که P {\displaystyle \;P} روی کمان B C {\displaystyle \;{BC}} از دایره محیطی مثلث باشد، تساوی رخ می دهد
نقطه E {\displaystyle \;E} طوری انتخاب می کنیم که مثلث D C E {\displaystyle \;DCE} متشابه با A B C {\displaystyle \;ABC} شود. حال چون ∠ D C E = ∠ B C A {\displaystyle \angle DCE=\angle BCA} پس ∠ L C D = ∠ A C E {\displaystyle \angle LCD=\angle ACE} همچنین به دلیل تشابه دو مثلث A B C {\displaystyle \;ABC} و D C E {\displaystyle \;DCE} داریم B C A C = D C C E {\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {DC}{CE}}} دو نتیجه اخیر نشان از تشابه دو مثلث B C D {\displaystyle \;BCD} و A C E {\displaystyle \;ACE} دارد و این خود رابطه A E B D = A C B C ⇒ A E = A C × B D B C {\displaystyle {\frac {AE}{BD}}={\frac {AC}{BC}}\Rightarrow AE={\frac {AC\times BD}{BC}}} را نتیجه می دهد. حال در مثلث A D E {\displaystyle \;ADE} طبق نامساوی مثلثی داریم: A D + D E ≥ A E {\displaystyle AD+DE\geq AE} به جای A E {\displaystyle \;AE} مقدار A C × B D B C {\displaystyle {\frac {AC\times BD}{BC}}} را قرار داده و دو طرف نامساوی را در B C {\displaystyle \;BC} ضرب می کنیم. رابطه B C × a d + B C × D E ≥ A C × B D {\displaystyle BC\times ad+BC\times DE\geq AC\times BD} حاصل می شود. حال تنها کافی است نشان دهیم B C × D E = A B × D C {\displaystyle BC\times DE=AB\times DC} که این نیز از تشابه دو مثلث A B C {\displaystyle \;ABC} و D C E {\displaystyle \;DCE} به دست می آید.
کتاب هندسه مسطحه، ناتان آلتشیلر کورت، انتشارات فاطمی
اگر A B C {\displaystyle \;ABC} یک مثلث متساوی الاضلاع باشد و P {\displaystyle \;P} نقطه ای دلخواه بیرون از مثلث و درون زاویه A ^ {\displaystyle \;{\hat {A}}} آنگاه داریم P A ≥ P B + P C {\displaystyle PA\geq PB+PC} و هنگامی که P {\displaystyle \;P} روی کمان B C {\displaystyle \;{BC}} از دایره محیطی مثلث باشد، تساوی رخ می دهد
نقطه E {\displaystyle \;E} طوری انتخاب می کنیم که مثلث D C E {\displaystyle \;DCE} متشابه با A B C {\displaystyle \;ABC} شود. حال چون ∠ D C E = ∠ B C A {\displaystyle \angle DCE=\angle BCA} پس ∠ L C D = ∠ A C E {\displaystyle \angle LCD=\angle ACE} همچنین به دلیل تشابه دو مثلث A B C {\displaystyle \;ABC} و D C E {\displaystyle \;DCE} داریم B C A C = D C C E {\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {DC}{CE}}} دو نتیجه اخیر نشان از تشابه دو مثلث B C D {\displaystyle \;BCD} و A C E {\displaystyle \;ACE} دارد و این خود رابطه A E B D = A C B C ⇒ A E = A C × B D B C {\displaystyle {\frac {AE}{BD}}={\frac {AC}{BC}}\Rightarrow AE={\frac {AC\times BD}{BC}}} را نتیجه می دهد. حال در مثلث A D E {\displaystyle \;ADE} طبق نامساوی مثلثی داریم: A D + D E ≥ A E {\displaystyle AD+DE\geq AE} به جای A E {\displaystyle \;AE} مقدار A C × B D B C {\displaystyle {\frac {AC\times BD}{BC}}} را قرار داده و دو طرف نامساوی را در B C {\displaystyle \;BC} ضرب می کنیم. رابطه B C × a d + B C × D E ≥ A C × B D {\displaystyle BC\times ad+BC\times DE\geq AC\times BD} حاصل می شود. حال تنها کافی است نشان دهیم B C × D E = A B × D C {\displaystyle BC\times DE=AB\times DC} که این نیز از تشابه دو مثلث A B C {\displaystyle \;ABC} و D C E {\displaystyle \;DCE} به دست می آید.
کتاب هندسه مسطحه، ناتان آلتشیلر کورت، انتشارات فاطمی
wiki: قضیه بطلمیوس