قضیه ارتین ریس

قضیه آرتین ریس. قضیه آرتین-ریس یا لم آرتین-ریس قضیه ای است در جبر جابجایی که افزون بر آن کاربردهایی در هندسه جبری نیز دارد. این قضیه به افتخار امیل آرتین و دیوید ریس نامگذاری شده است.
Siegfried Bosch: Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer-Verlag 2012
David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, 1995
فرض کنید I {\displaystyle I}   یک ایده آل حلقه جابجایی نوتری R {\displaystyle R}   باشد. همچنین فرض کنید M {\displaystyle M}   یک مدول متناهی مولد روی R {\displaystyle R}   و N ⊆ M {\displaystyle N\subseteq M}   یک زیرمدول باشد. آنگاه یک عدد طبیعی k {\displaystyle k}   موجود است که برای هر i ≥ k {\displaystyle i\geq k}   داریم: I i M ∩ N = I i − k ( I k M ∩ N ) {\displaystyle I^{i}M\cap N=I^{i-k}(I^{k}M\cap N)}  .
اگر M {\displaystyle M}   مدول دلخواه روی حلقه جابجایی دلخواه R {\displaystyle R}   باشد آنگاه
یک پایه برای توپولوژی نزدیک 0 {\displaystyle 0}   و در نتیجه یک پایه برای توپولوژی روی M {\displaystyle M}   تعریف میکند. این توپولوژی به توپولوژی I {\displaystyle I}  -ادیک نامبردار است. در این توپولوژی، یک زیرمجموعه U ⊂ M {\displaystyle U\subset M}   باز است اگر و تنها اگر برای هر x ∈ U {\displaystyle x\in U}   یک i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} }   وجود داشته باشد به گونه ای که x + I i M ⊆ U {\displaystyle x+I^{i}M\subseteq U}  .