قضیه پیکارد

در آنالیز مختلط، قضیه پیکارد، که به افتخار کاشف آن شارل امیل پیکار نامگذاری شد، یکی از دو قضیهٔ همچنان ممتاز به هم مرتبط است که هر دوی آنها دربارهٔ برد یک تابع تحلیلی است.
این یک استثنای در حقیقت ضروری است.ez یک تابع تام است که در هیچ کجا صفر نمی شود و e1/z در صفر دارای تکین اساسی است، اما باز هم در هیچ جا صفر نمی شود.
قضیه کوچک پیکارد از قضیه بزرگ پیکارد نتیجه می شود چون یک تابع تام، یا یک چند جمله ای است یا اینکه در بینهایت تکین اساسی دارد.
حدس اخیر برنارد السنر به قضیه بزرگ پیکارد مرتبط است: فرض کنید D − { 0 } {\displaystyle D-\{0\}}   دیسک واحد بازی در صفحهٔ مختلط باشد و فرض کنید U 1 , U 2 , … , U n {\displaystyle U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}}   یک پوشش بازمتناهی از D − { 0 } {\displaystyle D-\{0\}}   هستند. فرض کنید در هر U j {\displaystyle U_{j}}   یک تابع هولومورفیک یک به یک موجود است به طوری که d f j = d f k {\displaystyle df_{j}=df_{k}}   در هر اشتراک U j ∩ U k {\displaystyle U_{j}\cap U_{k}}  . آنگاه دیفرانسیل ها به هم متصل می شونند و به تابع مرومورفیک یک شکل روی دیسک تبدیل می شود. (در حالت خاصی که مانده صفر است، حدسیهٔ مذکور از قضیه پیکارد نتیجه می شود.)
قضیه اول، که هم چنین به «قضیهٔ کوچک پیکارد» معروف است، بیان می کند که اگر تابع f(z) تام و غیر ثابت باشد، برد f(z)، یا تمام صفحهٔ مختلط یا تمام صفحه به جز یک نقطه است. قضیهٔ دوم، که هم چنین معروف به «قضیهٔ بزرگ پیکارد» است، بیان می کند که اگر نقطهٔ w نقطه تکین اساسی تابع f(z) باشد آن گاه در هر مجموعه باز شامل w،f(z) همه مقادیر ممکن را بینهایت بار، به استثنای حداکثر یک نقطه، اختیار می کند.این قضیه صورت قوی تر قضیه وایرشتراس-کاسوراتی است، که فقط تضمین می کند که برد f در صفحهٔ مختلط چگال است.
Wikipedia contributors, "Picard theorem," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Picard_theorem&oldid=181288104