قضیه حد مرکزی (به انگلیسی: Central Limit Theorem) در نظریه احتمالات بیان می کند که با فرض شرایطی خاص، مجموع تعدادی متغیر تصادفی مستقل، که هر یک میانگین و واریانس به خوبی تعریف شده دارند، بطور تقریبی دارای توزیع نرمال خواهد بود. هرچه تعداد این متغیرهای مستقل افزایش یابد، این تقریب بهتر می شود.
نظریه احتمالات
آمار
مثال: در این مثال فرض شده است که n {\displaystyle n} متغیر تصادفی، همگی دارای توزیع احتمال یکنواخت (Uniform Probability Distribution) هستند. بر اساس قضیه حد مرکزی اگر متغیر تصادفی جدیدی Y {\displaystyle Y} تعریف شود به طوری که Y = X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle Y=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} ، می توان اثبات کرد که فارغ از نوع توزیع احتمال اولیۀ متغیرهای تصادفی (در این مثال توزیع یکنواخت)، توزیع احتمال متغیر جدید، توزیع نرمال خواهد بود.
دنباله X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} از متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکنواخت پیوسته D {\displaystyle D} را که بر یک فضای احتمال تعریف شده اند در نظر بگیرید. فرض کنید میانگین D {\displaystyle D} برابر μ {\displaystyle \mu } و انحراف از معیار آن σ {\displaystyle \sigma } است. حالا سری S n = X 1 + X 2 + X 3 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\dots +X_{n}} را در نظر بگیرید. می دانیم که میانگین S n {\displaystyle S_{n}} برابر n μ {\displaystyle n\mu } و انحراف از معیار آن σ n {\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}} است. بر اساس قضیه حد مرکزی S n {\displaystyle S_{n}} در بی نهایت به سمت توزیع نرمال N ( n μ , n σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(n\mu ,n{\sigma }^{2})} میل می کند.
توزیعهای آماری
نظریه احتمالات
آمار
مثال: در این مثال فرض شده است که n {\displaystyle n} متغیر تصادفی، همگی دارای توزیع احتمال یکنواخت (Uniform Probability Distribution) هستند. بر اساس قضیه حد مرکزی اگر متغیر تصادفی جدیدی Y {\displaystyle Y} تعریف شود به طوری که Y = X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle Y=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} ، می توان اثبات کرد که فارغ از نوع توزیع احتمال اولیۀ متغیرهای تصادفی (در این مثال توزیع یکنواخت)، توزیع احتمال متغیر جدید، توزیع نرمال خواهد بود.
دنباله X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} از متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکنواخت پیوسته D {\displaystyle D} را که بر یک فضای احتمال تعریف شده اند در نظر بگیرید. فرض کنید میانگین D {\displaystyle D} برابر μ {\displaystyle \mu } و انحراف از معیار آن σ {\displaystyle \sigma } است. حالا سری S n = X 1 + X 2 + X 3 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\dots +X_{n}} را در نظر بگیرید. می دانیم که میانگین S n {\displaystyle S_{n}} برابر n μ {\displaystyle n\mu } و انحراف از معیار آن σ n {\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}} است. بر اساس قضیه حد مرکزی S n {\displaystyle S_{n}} در بی نهایت به سمت توزیع نرمال N ( n μ , n σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(n\mu ,n{\sigma }^{2})} میل می کند.
توزیعهای آماری
wiki: قضیه حد مرکزی