قضیه کوراتوسکی

یک گراف نامسطح است، اگر و فقط اگر شامل زیرگرافی همومورفیک با K3,3 یا K5 باشد.مشاهده کردیم که K3,3 و K5 مسطح نیست. اگر گرافی شامل یکی از این دو گراف به عنوان زیرگراف باشد، مسطح نیست.به طور شگفت آوری تمام گراف های نامسطح باید شامل زیرگرافی باشند که با استفاده از عملیات مجاز خاص از K3,3 و K5 به دست می آید.نبو
اگر گرافی، مسطح باشد، هر گرافی که از حذف یال {u,v} و اضافه کردن راس جدید w به همراه یال های {w,u} و {u,w} به دست می آید، نیز مسطح خواهد بود.
به چنین عملی زیر تقسیم مقدماتی گفته می شود.
گراف های G1=(V1,E1) و G2=(V2,E2) همومورفیک نامیده می شوند، اگر بتوان آن ها را از یک گرف یکسان، با دنباله ای از زیرتقسیم های مقدماتی به دست آورد.