در منطق ریاضی، قضایای ناتمامیت گودل، توسط کورت گودل در سال ۱۹۳۱ ثابت شدند. این قضایا در منطق ریاضی و فلسفهٔ ریاضی از اهمیت بسزایی برخوردارند و دلیل اصلی این اهمیت، رد برنامهٔ هیلبرت برای یافتن مجموعه ای کامل و سازگار از اصول موضوع برای کل ریاضیات است.
قضیهٔ اول ناتمامیت گودل، شاید مشهورترین نتیجه در منطق ریاضیات باشد، که بیان می کند:
در این جا، «نظریه» به معنای تعدادی قواعد استنتاج، تعدادی علائم و مجموعه ای نامتناهی از گزاره ها است، که تعدادی متناهی از این گزاره ها بدون اثبات پذیرفته می شوند (که اصول موضوع خوانده می شوند)، و برخی دیگر از گزاره ها از اصول موضوع به دست می آیند؛ به این گزاره ها که با کمک قواعد استنتاج از اصول موضوع به دست می آیند قضیه می گوییم. «اثبات پذیر بودن در نظریه» یعنی «اشتقاق پذیر بودن از اصول موضوع نظریه به کمک قواعد استنتاج نظریه». یک نظریه «سازگار» است، در صورتی که هیچ گاه یک تناقض را اثبات نکند. بنا بر قضیه ناتمامیت اول گودل، هیچ نظریه اصل موضوعی که حداقل قضایای اساسی حساب را بتواند اثبات کند وجود ندارد که همه قضایا را اثبات یا رد کند. به عبارتی در هر نظام اصل موضوعی ریاضی جملاتی تصمیم ناپذیر وجود دارند. طبق منطق کلاسیک و منطق ارسطویی هر گزاره ای یا صادق است یا کاذب. قضیه ناتمامیت اول می گوید که نظام های اصل موضوعی که قابلیت نشان دادن توابع بازگشتی را داشته باشند نمی توانند چنین تصمیمی دربارهٔ گزاره های حساب بگیرند. یعنی جملاتی در این نظام ها وجود دارند که نه اثبات پذیرند و نه انکارپذیر.می توان نشان داد که اگر G را به K بیفزاییم و مجموعهٔ جدیدی تولید کنیم، باز هم می توانیم یک گزارهٔ جدید گودل برای مجموعهٔ فعلی ارائه کنیم که در نظریه جدید نه اثبات پذیر باشد و نه انکارپذیری و جامع بودن آن را نقض کنیم.
قضیه ناتمامیت دوم گودل می گوید:
قضیهٔ اول ناتمامیت گودل، شاید مشهورترین نتیجه در منطق ریاضیات باشد، که بیان می کند:
در این جا، «نظریه» به معنای تعدادی قواعد استنتاج، تعدادی علائم و مجموعه ای نامتناهی از گزاره ها است، که تعدادی متناهی از این گزاره ها بدون اثبات پذیرفته می شوند (که اصول موضوع خوانده می شوند)، و برخی دیگر از گزاره ها از اصول موضوع به دست می آیند؛ به این گزاره ها که با کمک قواعد استنتاج از اصول موضوع به دست می آیند قضیه می گوییم. «اثبات پذیر بودن در نظریه» یعنی «اشتقاق پذیر بودن از اصول موضوع نظریه به کمک قواعد استنتاج نظریه». یک نظریه «سازگار» است، در صورتی که هیچ گاه یک تناقض را اثبات نکند. بنا بر قضیه ناتمامیت اول گودل، هیچ نظریه اصل موضوعی که حداقل قضایای اساسی حساب را بتواند اثبات کند وجود ندارد که همه قضایا را اثبات یا رد کند. به عبارتی در هر نظام اصل موضوعی ریاضی جملاتی تصمیم ناپذیر وجود دارند. طبق منطق کلاسیک و منطق ارسطویی هر گزاره ای یا صادق است یا کاذب. قضیه ناتمامیت اول می گوید که نظام های اصل موضوعی که قابلیت نشان دادن توابع بازگشتی را داشته باشند نمی توانند چنین تصمیمی دربارهٔ گزاره های حساب بگیرند. یعنی جملاتی در این نظام ها وجود دارند که نه اثبات پذیرند و نه انکارپذیر.می توان نشان داد که اگر G را به K بیفزاییم و مجموعهٔ جدیدی تولید کنیم، باز هم می توانیم یک گزارهٔ جدید گودل برای مجموعهٔ فعلی ارائه کنیم که در نظریه جدید نه اثبات پذیر باشد و نه انکارپذیری و جامع بودن آن را نقض کنیم.
قضیه ناتمامیت دوم گودل می گوید:
wiki: قضایای ناتمامیت گودل