بنابراین قضیه اگر تابع f بر بازهٔ پیوسته باشد آنگاه حداقل یک مقدار مانند c وجود دارد که : f ( c ) = 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle f(c)=1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد دوم )، نوشته دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384
با توجه به فرض قضیه، چون تابع f بر بازه پیوسته است، مقدار مینیمم و ماکسیمم مطلق خود را (بر طبق قضیه اکسترمم) در این فاصله می گیرد، یعنی به ازای هر x در بازه : m ≤ f ( x ) ≤ M ⇒ ∫ a b m d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b M d x {\displaystyle m\leq \ f(x)\leq \ M\Rightarrow \int _{a}^{b}m\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}M\,dx} m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) ⇒ m ≤ 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x ≤ M {\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \ M(b-a)\Rightarrow \ m\leq \ 1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \ M} حال اگر تابع f در این فاصله صعودی (نزولی) باشد آنگاه x 0 {\displaystyle x_{0}} و x 1 {\displaystyle x_{1}} در بازه {\displaystyle } وجود دارد که به ازای آنها مقادیر تابع به ترتیب مینیمم و ماکسیمم (ماکسیمم و مینیمم) می شود. یعنی: ( 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x − f ( x 0 ) ) ( 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x − f ( x 1 ) ) < 0 {\displaystyle (1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f(x_{0}))(1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f(x_{1}))<\ 0} که بر طبق قضیه بولتزانو وجود دارد حداقل یک مقدار مانند c در بازهٔ {\displaystyle } که: f ( c ) = 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle f(c)=1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد دوم )، نوشته دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384
با توجه به فرض قضیه، چون تابع f بر بازه پیوسته است، مقدار مینیمم و ماکسیمم مطلق خود را (بر طبق قضیه اکسترمم) در این فاصله می گیرد، یعنی به ازای هر x در بازه : m ≤ f ( x ) ≤ M ⇒ ∫ a b m d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b M d x {\displaystyle m\leq \ f(x)\leq \ M\Rightarrow \int _{a}^{b}m\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}M\,dx} m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) ⇒ m ≤ 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x ≤ M {\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \ M(b-a)\Rightarrow \ m\leq \ 1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \ M} حال اگر تابع f در این فاصله صعودی (نزولی) باشد آنگاه x 0 {\displaystyle x_{0}} و x 1 {\displaystyle x_{1}} در بازه {\displaystyle } وجود دارد که به ازای آنها مقادیر تابع به ترتیب مینیمم و ماکسیمم (ماکسیمم و مینیمم) می شود. یعنی: ( 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x − f ( x 0 ) ) ( 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x − f ( x 1 ) ) < 0 {\displaystyle (1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f(x_{0}))(1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f(x_{1}))<\ 0} که بر طبق قضیه بولتزانو وجود دارد حداقل یک مقدار مانند c در بازهٔ {\displaystyle } که: f ( c ) = 1 / ( b − a ) ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle f(c)=1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx}