در ریاضیات، اتحاد پاسکال یک همانی ترکیبیاتی در مورد ضریب دوجمله ای است. بنابر اتحاد پاسکال، به ازای هر عدد طبیعی n
( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) = ( n k ) {\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}\quad }
که در آن ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} یک ضریب دوجمله ای است. نوشتن این اتحاد به صورت زیر هم رایج است:
اثباتی شهودی برای این اتحاد وجود دارد. یادآوری می شود که ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} تعداد حالت هایی است که می توان از مجموعه ای n تایی، k چیز برداشت. یک عضو دلبخواهی از مجموعه به عنوان X جدا می شود. حال هر بار که زیرمجموعه ای k تایی از مجموعه برداشته شود، X یا عضو این زیر مجموعه است یا عضو این زیرمجموعه نیست. اگر X عضو زیر مجموعه باشد، با کنار گذاشتن آن تعداد حالت ها برابر ( n − 1 k − 1 ) {\displaystyle {n-1 \choose k-1}} می شود. اگر X عضو زیرمجموعه نباشد با کنار گذاشتن آن تعداد حالت ها برابر ( n − 1 k ) {\displaystyle {n-1 \choose k}} است. از آنجا که حالت دیگری ممکن نیست (X یا در زیرمجموعهٔ kتایی هست یا در آن نیست) پس
قصد بر این است که ثابت شود:
( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) = ( n k ) {\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}\quad }
که در آن ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} یک ضریب دوجمله ای است. نوشتن این اتحاد به صورت زیر هم رایج است:
اثباتی شهودی برای این اتحاد وجود دارد. یادآوری می شود که ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} تعداد حالت هایی است که می توان از مجموعه ای n تایی، k چیز برداشت. یک عضو دلبخواهی از مجموعه به عنوان X جدا می شود. حال هر بار که زیرمجموعه ای k تایی از مجموعه برداشته شود، X یا عضو این زیر مجموعه است یا عضو این زیرمجموعه نیست. اگر X عضو زیر مجموعه باشد، با کنار گذاشتن آن تعداد حالت ها برابر ( n − 1 k − 1 ) {\displaystyle {n-1 \choose k-1}} می شود. اگر X عضو زیرمجموعه نباشد با کنار گذاشتن آن تعداد حالت ها برابر ( n − 1 k ) {\displaystyle {n-1 \choose k}} است. از آنجا که حالت دیگری ممکن نیست (X یا در زیرمجموعهٔ kتایی هست یا در آن نیست) پس
قصد بر این است که ثابت شود:
wiki: اتحاد پاسکال