در نظریه احتمالات، امید ریاضی یا همان مقدار چشم داشتی(Expected value)، که با نام های میانگین مقدار مورد انتظار یا ارزش مورد انتظار نیز شناخته می شوند، مقدارِ قابل انتظاری است از یک متغیر تصادفی ِگسسته که برابر است با مجموع حاصل ضرب احتمالِ وقوع هر یک از حالات ممکن در مقدار آن حالت. در نتیجه میانگین برابر است با مقداری که به طور متوسط از یک فرایند تصادفی با بی نهایت تکرار انتظار می رود. به بیان ساده تر، مقدار چشم داشتی از یک متغیر تصادفی، مقدارِ میانگینِ تعداد دفعاتِ مشاهده شدهٔ یک وضعیت است. به عنوان مثال، در پرتاب یک سکه، برای بدست آوردن احتمال مشاهدهٔ هر سمت از یک سکه (شیر یا خط)، می توان این کار را به دفعات زیاد انجام داد. اکنون میانگین تعداد دفعاتِ مشاهدهٔ هرکدام از حالت ها (شیر یا خط)، برابر است با مقدار چشم داشتی(Expected value) یا همان امید ریاضی.بطور مثال برای تاس داریم:
E ( g ( X ) ) = ∫ a ∞ g ( x ) d P ( X ≤ x ) = g ( a ) + ∫ a ∞ g ′ ( x ) P ( X > x ) d x {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} \operatorname {P} (X\leq x)=g(a)+\int _{a}^{\infty }g'(x)\operatorname {P} (X>x)\,\mathrm {d} x} if P ( g ( X ) ≥ g ( a ) ) = 1 {\displaystyle \operatorname {P} (g(X)\geq g(a))=1} ,
E ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ a g ( x ) d P ( X ≤ x ) = g ( a ) − ∫ − ∞ a g ′ ( x ) P ( X ≤ x ) d x {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{a}g(x)\,\mathrm {d} \operatorname {P} (X\leq x)=g(a)-\int _{-\infty }^{a}g'(x)\operatorname {P} (X\leq x)\,\mathrm {d} x} if P ( g ( X ) ≤ g ( a ) ) = 1 {\displaystyle \operatorname {P} (g(X)\leq g(a))=1} .
یعنی اگر بی نهایت بار تاس را پرت کنیم، مقدار میانگین بدست آمده به سمت عدد ۳٫۵ میل خواهد کرد.
مقدار چشم داشتی (امید ریاضی) یک متغیر تصادفی به صورت زیر تعریف می شود:
E = ∫ x f X ( x ) d x {\displaystyle \mathbb {E} =\int {xf_{X}(x)dx}}
E ( g ( X ) ) = ∫ a ∞ g ( x ) d P ( X ≤ x ) = g ( a ) + ∫ a ∞ g ′ ( x ) P ( X > x ) d x {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} \operatorname {P} (X\leq x)=g(a)+\int _{a}^{\infty }g'(x)\operatorname {P} (X>x)\,\mathrm {d} x} if P ( g ( X ) ≥ g ( a ) ) = 1 {\displaystyle \operatorname {P} (g(X)\geq g(a))=1} ,
E ( g ( X ) ) = ∫ − ∞ a g ( x ) d P ( X ≤ x ) = g ( a ) − ∫ − ∞ a g ′ ( x ) P ( X ≤ x ) d x {\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{a}g(x)\,\mathrm {d} \operatorname {P} (X\leq x)=g(a)-\int _{-\infty }^{a}g'(x)\operatorname {P} (X\leq x)\,\mathrm {d} x} if P ( g ( X ) ≤ g ( a ) ) = 1 {\displaystyle \operatorname {P} (g(X)\leq g(a))=1} .
یعنی اگر بی نهایت بار تاس را پرت کنیم، مقدار میانگین بدست آمده به سمت عدد ۳٫۵ میل خواهد کرد.
مقدار چشم داشتی (امید ریاضی) یک متغیر تصادفی به صورت زیر تعریف می شود:
E = ∫ x f X ( x ) d x {\displaystyle \mathbb {E} =\int {xf_{X}(x)dx}}
wiki: مقدار چشم داشتی