ماتریس ژاکوبی

ماتریس ژاکوبی، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی: کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، ماتریسی است که در آن تمام مشتق های جزئی مرتبه اول یک تابع چند متغیره f : R n → R m {\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}} موجود می باشد. این ماتریس تعمیم یافته ای از مشتق یک بعدی است.
اگر f : R n → R m {\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}}   یک تابعمشتق پذیر چند متغیره باشد که مقادیر آن {\displaystyle }   باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه ( x 1 ⋯ x n ) {\displaystyle (x_{1}\cdots x_{n})}  ، یک نگاشت خطی از فضای R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}   به R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}   می باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می شود.
J F ( x 1 , … , x n ) := ∂ ( y 1 , … , y m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) := {\displaystyle J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n}):={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}:={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}
مثال ۱: تابع F : R 2 → R 2 {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}   را با این تعریف در نظر بگیرید: