قانون کتانژانت ها

در مثلثات، قانون کتانژانت ها به رابطه میان اندازه ضلع های یک مثلث و کتانژانت نصف سه زاویه آن گفته می شود. سه مقداری که برابریشان در قانون کتانژانت ها ثابت می شود، برابر با شعاع دایره محاطی مثلث مورد نظر هستند.
فرمول هرون. مثلث ABC به ۶ مثلث قائم الزاویه کوچکتر، تقسیم می شود. هر دو مثلث مجاور یک رأس، دارای قاعده و ارتفاع برابر با یکدیگر هستند. مثلاً دو مثلث مجاور رأس A دارای قاعده s-a و ارتفاع r هستند. بنابراین مساحت آن مثلث، 1 2 r ( s − a ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r(s-a)}   و مساحت دو مثلث مجاور (r(s-a است. به این ترتیب، مساحت مثلث ABC از رابطه زیر محاسبه می شود:
با استفاده از نام گذاری متداول برای مثلث (مانند شکل روبرو) که a و b و c ضلع ها، A و B و C رأس ها و α و β و γ زاویه های مثلث، s نصف محیط مثلث (که مقدار آن برابر s = (a+b+c)/2 است) و r شعاع دایره محاطی هستند، قانون کتانژانت ها به صورت زیر بیان می شود:
و شعاع دایره محاطی از رابطه زیر به دست می آید:
نقطه تماس دایره محاطی با هر ضلع، آن را به دو بخش تقسیم می کند. هر دو بخش مجاور یک رأس با یکدیگر برابر هستند. اگر از هر جفت مجاور یک رأس، یکی انتخاب شود، مجموع این سه برابر s نصف محیط مثلث است. برای نمونه، جمع دو خط آبی و قرمز در شکل روبرو برابر s می باشد. اکنون با استفاده از تعریف تابع کتانژانت، داریم: