خانواده نمایی

در آمار و احتمال، خانواده نمایی گروه مهمی از توزیع های احتمالی است که دارای ویژگی های مشترکی هستند و در قالب خاصی قرار می گیرند. این قالب مشترک برای سهولت در اعمال ریاضی، درک بهتر و کلیت بخشیدن به مسائل مفید است. ایدهٔ خانواده نمایی اولین بار توسط پیتمن، دارمویس و کوپمن در ۱۹۳۵ میلادی ارائه شد.
{\displaystyle }   is the Iverson bracket (1 if x = i {\displaystyle x=i}  , 0 otherwise).
گاهی به جای خانواده نمایی عبارت رسته نمایی یا کلاس نمایی نیز استفاده می شود.بسیاری از توزیع های معروف در گروه خانواده نمایی قرار می گیرند. توزیع های نرمال، نمایی، گاما، مربع-کای، بتا، دریخله، برنولی، دوجمله ای، چندجمله ای، پواسون و بسیاری دیگر از این گروهند. از معروفترین توزیع هایی که در این خانواده قرار نمی گیرند می توان از توزیع یکنواخت، کوشی و تی-استودنت نام برد.با توجه به این گستردگی، می توان چهارچوبی برای انتخاب گونه ای دیگر از پارامترسازی برای توزیع ها در نظر گرفت که به عنوان پارامتر طبیعی مطرح می شود و در ادامه شرح داده می شود.
خانواده نمایی یک متغیره، دسته ای از توزیع های احتمال هستند که تابع چگالی احتمال آن ها (یا تابع جرم احتمال آن ها در حالت گسسته) دارای قالبی به صورت زیر باشد:
که T ( x ) {\displaystyle T(x)}  ، h ( x ) {\displaystyle h(x)}  ، η ( θ ) {\displaystyle \eta (\theta )}  ، و A ( θ ) {\displaystyle A(\theta )}   توابع شناخته شده ای هستند.