تابع همبستگی (مکانیک آماری). در مکانیک آماری، تابع همبستگی (به انگلیسی: Correlation function) معیاری برای نظم موجود در یک سیستم است. درحقیقت، توابع همبستگی چگونگی ارتباط متغیرهای میکروسکوپیک مانند اسیپن و چگالی در نقاط مختلف را توصیف می کنند. به طور ویژه، توابع همبستگی بیان کننده این هستند که به طور کمی، متغیرهای میکروسکوپیک به طور متوسط چگونه به یکدیگر در بستر فضا و زمان همبسته هستند. یک مثال کلاسیک از این دسته از توابع فضایی را در مواد فرومغناطیس و پادفرومغناطیس می توان یافت که در آن ها به ترتیب، اسپین ها ترجیح می دهند که نسبت به نزدیک ترین همسایه هایشان هم جهت یا در خلاف جهت قرار گیرند. همبستگی فضایی بین اسپین ها در چنین موادی در شکل سمت چپ نشان داده شده است.
Radial distribution function
Yeomans, J. M. (1992). Statistical Mechanics of Phase Transitions. Oxford Science Publications. ISBN 0-19-851730-0.
Fisher, M. E. (1974). "Renormalization Group in Theory of Critical Behavior". Reviews of Modern Physics. 46 (4): 597–616. Bibcode:1974RvMP...46..597F. doi:10.1103/RevModPhys.46.597.
C. Domb, M.S. Green, J.L. Lebowitz editors, Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 1-20 (1972–2001), Academic Press.
رایج ترین تعریف از تابع همبستگی برای دو متغیر تصادفی و در مکان های و و زمان های و برابر است با متوسط هنگرد بندادی (canonical ensemble) ضرب داخلی آن دو:
C ( r , τ ) = ⟨ s 1 ( R , t ) ⋅ s 2 ( R + r , t + τ ) ⟩ − ⟨ s 1 ( R , t ) ⟩ ⟨ s 2 ( R + r , t + τ ) ⟩ . {\displaystyle C(r,\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \,.}
که در اینجا نماد براکت، ⟨ . . . ⟩ {\displaystyle \langle ...\rangle } ، به معنای میانگین گیری دمایی است. بنابر قرار داد، در حوزه های مختلف علوم، علامت تابع همبستگی متفاوت است.بیشترین استفاده از تابع همبستگی برای زمانی است که s 1 {\displaystyle s_{1}} و s 2 {\displaystyle s_{2}} هر دو یک متغیر را توصیف کنند. به عنوان مثال، تابع همبستگی اسپین-اسپین یا تابع همبستگی مکان-مکان برای یک ذره در یک مایع یا جامد (که معمولاً از آن با نام تابع توزیع شعاعی یا تابع همبستگی دوتایی یاد می شود)توابع همبستگی بین یک متغیر را توابع خودهمبستگی می گویند. با این وجود در مکانیک آماری، همه توابع همبستگی، خودهمبستگی نیستند. به عنوان مثال، در فازهای چندمولفه ای چگال شده مواد، چیزی که مورد علاقه است تابع همبستگی دوتایی بین مؤلفه های مختلف است.
Radial distribution function
Yeomans, J. M. (1992). Statistical Mechanics of Phase Transitions. Oxford Science Publications. ISBN 0-19-851730-0.
Fisher, M. E. (1974). "Renormalization Group in Theory of Critical Behavior". Reviews of Modern Physics. 46 (4): 597–616. Bibcode:1974RvMP...46..597F. doi:10.1103/RevModPhys.46.597.
C. Domb, M.S. Green, J.L. Lebowitz editors, Phase Transitions and Critical Phenomena, vol. 1-20 (1972–2001), Academic Press.
رایج ترین تعریف از تابع همبستگی برای دو متغیر تصادفی و در مکان های و و زمان های و برابر است با متوسط هنگرد بندادی (canonical ensemble) ضرب داخلی آن دو:
C ( r , τ ) = ⟨ s 1 ( R , t ) ⋅ s 2 ( R + r , t + τ ) ⟩ − ⟨ s 1 ( R , t ) ⟩ ⟨ s 2 ( R + r , t + τ ) ⟩ . {\displaystyle C(r,\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \,.}
که در اینجا نماد براکت، ⟨ . . . ⟩ {\displaystyle \langle ...\rangle } ، به معنای میانگین گیری دمایی است. بنابر قرار داد، در حوزه های مختلف علوم، علامت تابع همبستگی متفاوت است.بیشترین استفاده از تابع همبستگی برای زمانی است که s 1 {\displaystyle s_{1}} و s 2 {\displaystyle s_{2}} هر دو یک متغیر را توصیف کنند. به عنوان مثال، تابع همبستگی اسپین-اسپین یا تابع همبستگی مکان-مکان برای یک ذره در یک مایع یا جامد (که معمولاً از آن با نام تابع توزیع شعاعی یا تابع همبستگی دوتایی یاد می شود)توابع همبستگی بین یک متغیر را توابع خودهمبستگی می گویند. با این وجود در مکانیک آماری، همه توابع همبستگی، خودهمبستگی نیستند. به عنوان مثال، در فازهای چندمولفه ای چگال شده مواد، چیزی که مورد علاقه است تابع همبستگی دوتایی بین مؤلفه های مختلف است.
تابع همبستگی (نجوم). در نجوم، تابع همبستگی توزیع کهکشان ها در کیهان را توصیف می کند. بر اساس مشاهدات، توزیع کهکشان ها در آسمان، یکنواخت نیست و آن ها در ساختارهایی مانند خوشه ها، ابرخوشه ها، رشته ها، تهی جاها و … وجود دارند. عدم یکنواختی این توزیع، به کمک تابع همبستگی دو-نقطه ای توصیف می شود.
تابع همبستگی (مکانیک آماری)
تابع همبستگی دونقطه ای، ξ ( r ) {\displaystyle \xi (r)} ، فزونی احتمال پیدا کردن دو کهکشان در فاصلهٔ r {\displaystyle r} نسبت به توزیع یکنواخت است. به عبارت دیگر، احتمال پیدا کردن دو کهکشان در فاصلهٔ ξ ( r ) {\displaystyle \xi (r)} از یک دیگر، نسبت به حالتی که توزیع کهکشان ها یکنواخت باشد، چه قدر افزایش خواهد یافت. به بیان ریاضی:
d P = n d V {\displaystyle dP=ndV}
که در آن n {\displaystyle n} چگالی تعداد میانگین کهکشان ها، r {\displaystyle r} طول همراه و d P {\displaystyle dP} احتمال فزونی است. در منابع نجومی، از تعریف زیر که توسط پیبلز ارائه شده است، استفاده می شود.
تابع همبستگی (مکانیک آماری)
تابع همبستگی دونقطه ای، ξ ( r ) {\displaystyle \xi (r)} ، فزونی احتمال پیدا کردن دو کهکشان در فاصلهٔ r {\displaystyle r} نسبت به توزیع یکنواخت است. به عبارت دیگر، احتمال پیدا کردن دو کهکشان در فاصلهٔ ξ ( r ) {\displaystyle \xi (r)} از یک دیگر، نسبت به حالتی که توزیع کهکشان ها یکنواخت باشد، چه قدر افزایش خواهد یافت. به بیان ریاضی:
d P = n d V {\displaystyle dP=ndV}
که در آن n {\displaystyle n} چگالی تعداد میانگین کهکشان ها، r {\displaystyle r} طول همراه و d P {\displaystyle dP} احتمال فزونی است. در منابع نجومی، از تعریف زیر که توسط پیبلز ارائه شده است، استفاده می شود.
wiki: تابع همبستگی (نجوم)