تابع هیون(به انگلیسی: Heun function)، از توابع خاص در علم ریاضیات با نماد (Hℓ(a,q;α,β،γ,δ;z، تابعی هولومورفیک و پاسخ یک معادله دیفرانسیل معمولی خطیِ مرتبه دو با ضرایب غیرثابت به نام معادله هیون است که به افتخار ریاضیدان آلمانی، کارل هیون به این اسم نامیده می شود. معادله هیون، کلی ترین حالت معادله فوکسین خطی مرتبه دو، با داشتن چهار نقطه منفرد منظم است. حل این معادله تحت عنوان تابع هیون، از طریق تکنیک حل معادلات دیفرانسیل با کمک سری های توانی، بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس امکانپذیر است. گونه هایی از معادلات هیون، تحت عنوان معادلات کانفلوئنت هیون، با داشتن یک یا چند نقطه منفرد نامنظم وجود دارند که دارای ویژگی های ریاضی متعددی، من جمله ارتباطی تنگاتنگ با برخی از معادلات دیفرانسیلِ مولدِ پاره ای از توابع خاص هستند. در کل، معادله هیون، حالتی عمومی از معادلات دیفرانسیلی نظیر معادلات گاوس هایپرژئومتریک، کانفلوئنت هایپرژئومتریک، لامه، اینس، بسل، لِژندر و لگِر است که به همین علت تابع هیون روابط اثبات شده گوناگونی با بعضی از این توابع مانند توابع لامه و توابع هایپرژئومتریک پیدا کرده است. همچنین تابع هیون به صورت بسطی از توابعی مانند توابع هایپرژئومتریک و توابع ریمان پی قابل نمایش است. دسته ای خاص از پاسخهای معادله هیون مشهور به توابع هیون موجودند که در نقطه واحد دستگاه مختصات، تحلیلی هستند، همچنین دسته ای دیگر از پاسخهای این معادله تحت نام چندجمله ای های هیون در تمام نقاط منفرد منظم متناهی معادله هیون، دارای رفتاری تحلیلی اند. توابع و چندجمله ای های هیون، خواص متعددی دارند که می توان به وجود تعامد در آن ها اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای متعددی در علوم فیزیک و مهندسی، پس از اعمال روش جداسازی متغیرها منجر به بروز تابع هیون می شوند. تابع هیون، در دینامیک سیالات، فرایند تبدیل کریستالها، مکانیک کوانتوم، مطالعه بر سیاهچاله ها، و بسیاری از علوم دیگر کاربرد دارد. امروزه، نرم افزارهای ریاضی گوناگونی قادر به محاسبه تابع عمومی هیون و چندجمله ای ها و توابع هیون با دقت و سرعت بالایی هستند.
توابع خاص
حالت کلی معادله هیون را می توان به صورت زیر نمایش داد.
d 2 w d z 2 + d w d z + α β z − q z ( z − 1 ) ( z − a ) w = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0} a ≠ 0 , 1 {\displaystyle a\neq 0,1}
معادله هیون را می توان یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی و از دسته معادلات فوکسین مرتبه دو با داشتن چهار نقطه تکینگی در نقاط { 0 , 1 , a , ∞ } {\displaystyle \left\{0,1,a,\infty \right\}} برشمرد. لازم به ذکر است که نقاطِ منفردِ منظمِ { 0 , 1 , a , ∞ } {\displaystyle \left\{0,1,a,\infty \right\}} ، به ترتیب جفت اکسپاننت هایی(پاسخهای معادله مشخصه) به شرح { 0 , 1 − γ } {\displaystyle \left\{0,1-\gamma \right\}} و { 0 , 1 − δ } {\displaystyle \left\{0,1-\delta \right\}} و { 0 , 1 − ϵ } {\displaystyle \left\{0,1-\epsilon \right\}} و { α , β } {\displaystyle \left\{\alpha ,\beta \right\}} دارند . در معادله هیون، a {\displaystyle a} ثابت تکینگی، α {\displaystyle \alpha } ٬ β {\displaystyle \beta } ٬ δ {\displaystyle \delta } ٬ γ {\displaystyle \gamma } و ϵ {\displaystyle \epsilon } ثابتهای اکسپاننت و q ثابتی کمکی است. هر هفت پارامتر مؤثر در معادله هیون، { α , β , γ , δ , ϵ , a , q } {\displaystyle \left\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,a,q\right\}} ، مستقل نیستند و با هم ارتباطی جبری دارند. بدین منظور، حالتی کلی از یک معادله فوکسین مرتبه دو را با 1+N نقطه تکینگی در z = c j , j = 1 , 2 , . . . N {\displaystyle z=c_{j},j=1,2,...N} و ∞ {\displaystyle \infty } ، به صورت زیر در نظر بگیرید.
توابع خاص
حالت کلی معادله هیون را می توان به صورت زیر نمایش داد.
d 2 w d z 2 + d w d z + α β z − q z ( z − 1 ) ( z − a ) w = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0} a ≠ 0 , 1 {\displaystyle a\neq 0,1}
معادله هیون را می توان یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی و از دسته معادلات فوکسین مرتبه دو با داشتن چهار نقطه تکینگی در نقاط { 0 , 1 , a , ∞ } {\displaystyle \left\{0,1,a,\infty \right\}} برشمرد. لازم به ذکر است که نقاطِ منفردِ منظمِ { 0 , 1 , a , ∞ } {\displaystyle \left\{0,1,a,\infty \right\}} ، به ترتیب جفت اکسپاننت هایی(پاسخهای معادله مشخصه) به شرح { 0 , 1 − γ } {\displaystyle \left\{0,1-\gamma \right\}} و { 0 , 1 − δ } {\displaystyle \left\{0,1-\delta \right\}} و { 0 , 1 − ϵ } {\displaystyle \left\{0,1-\epsilon \right\}} و { α , β } {\displaystyle \left\{\alpha ,\beta \right\}} دارند . در معادله هیون، a {\displaystyle a} ثابت تکینگی، α {\displaystyle \alpha } ٬ β {\displaystyle \beta } ٬ δ {\displaystyle \delta } ٬ γ {\displaystyle \gamma } و ϵ {\displaystyle \epsilon } ثابتهای اکسپاننت و q ثابتی کمکی است. هر هفت پارامتر مؤثر در معادله هیون، { α , β , γ , δ , ϵ , a , q } {\displaystyle \left\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,a,q\right\}} ، مستقل نیستند و با هم ارتباطی جبری دارند. بدین منظور، حالتی کلی از یک معادله فوکسین مرتبه دو را با 1+N نقطه تکینگی در z = c j , j = 1 , 2 , . . . N {\displaystyle z=c_{j},j=1,2,...N} و ∞ {\displaystyle \infty } ، به صورت زیر در نظر بگیرید.
wiki: تابع هیون