تابع مولد احتمال

در نظریه احتمال، تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی گسسته، یک نمایش سری های توانی از تابع جرمی احتمال یک متفیر تصادفی است. توابع مولد احتمال معمولاً برای ایجاز در توصیفات دنباله ای از احتمالات Pr(X) = i، و همچنین فراهم ساختن یک فرضیه مناسب از سری های توانی با ضرایب نا-منفی، به کار گرفته می شوند.
تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی ثابت، به عنوان مثال Pr(X=c) = ۱، به شکل زیر است:
اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد که مقادیری از بعضی زیر مجموعه های نا-منفی اعداد صحیح {...،۱،۲} اتخاذ کند، آنگاه تابع مولد احتمال X اینگونه تعریف می گردد:
که در آن f تابع جرمی احتمالX است. دقت کنید که نشانه گذاری معادل GX بعضی مواقع برای متمایز ساختن توابع مولد احتمال متغیرهای تصادفی مختلفی مورد استفاده قرار می گیرد.
توابع مولد احتمال از تمام قوانین سری های توانی با ضرایبِ نا-منفی تبعیت می کنند. به طور خاص G(۱-) = ۱، تا زمانی که احتمالات باید ۱ واحد افزوده شوند و در جاییکه G(۱-) = limz→۱G(z)، آن گاه طبق قضیهٔ آبل برای سری های توانی با ضرایب نا-منفی، شعاع همگرایی هر تابع مولد احتمال باید حداقل ۱ باشد.