تابع مولد

در ریاضیات تابع مولد یک سری توانی است که ضرایب آن اطلاعاتی در مورد دنبالهٔ فرضی an (با اندیس های طبیعی) را در خود رمز می کنند.توابع مولد برای اولین بار توسط ابراهام دو مواور استفاده شدند.در واقع توابع مولد بسیار قدرتمند هستند و می توان از آن ها برای رمزگذاری اطلاعات در مورد آرایه ای از اعداد فهرست شده توسط اعداد طبیعی استفاده کرد.
پیدا کردن یک فرمول بسته برای توابع بازگشتی .به عنوان مثال دنباله فیبوناچی
پیدا کردن رابطه بازگشتی برای یک دنباله که معمولاً به فرم بازگشتی است.
پیدا کردن ارتباط میان دنباله ها ، اگر تابع مولد دو دنباله با هم برابر باشند ، خود دنباله ها نیز با هم در ارتباط می باشند.
کشف کردن رفتار مجانبی یک دنباله .
بدست آوردن مجموع دنباله های نا متناهی
توابع مولد دارای انواع مختلفی مانند توابع مولد معمولی، توابع مولد نمایی، سری های لمبرت، سری های بل و سری دیریکله می باشند که در ادامه برای هر یک تعریف و مثال هایی ارائه داده می شود. هر دنباله در اصل یک تابع مولد از هر نوع دارد(به جز سری های لمبرت و دیریکله که از اندیس یکم شروع می شوند ، بقیه انواع از اندیس صفرم شروع می شوند) و بسته به نوع تابع می توان از تابع مولد مناسب استفاده کرد.توابع مولد اغلب به صورت یک فرم بسته (به جای یک سری) ارائه می شوند. گاهی اوقات یک تابع مولد با یک مقدار خاص x مقداردهی می شود. به هر حال، باید توجه داشت که توابع مولد سری هایی توانی هستند و لازم نیست که برای همهٔ مقادیر x رفتار مشابهی داشته باشند.
توابع مولد بطور کلی در فرم توابع معمولی که به صورت نگاشتی از دامنه به برد است ، نیستند و این نام نیز صرفاً به صورت سنتی بر روی آن ها بوده و بهتر است به جای توابع مولد از واژه سری های مولد استفاده کنیم.
تابع مولد معمولی دنبالهٔ an عبارتست از