فانکتور

فانکتور (نظریه دسته ها). در ریاضیات و به ویژه در نظریه دسته ها، منظور از یک فانکتور (به انگلیسی: functor)، یک نگاشت میان دو دسته (کاتگوری) می باشد که دارای این ویژگی است که اشیاء و مورفیزم (یا ریختار) های دسته نخست را به دسته دیگر منتقل می کند.
به هر سازه X ∈ O b ( C ) {\displaystyle X\in Ob({\mathcal {C}})}   یک سازه F ( X ) ∈ O b ( D ) {\displaystyle F(X)\in Ob({\mathcal {D}})}   نظیر شود. به بیان دیگر اگر X {\displaystyle X}   سازه ای (شیء) از C {\displaystyle {\mathcal {C}}}   باشد، F ( X ) {\displaystyle F(X)}   سازه ای از D {\displaystyle {\mathcal {D}}}   خواهد بود.
برای هر ریختار یا پیکان f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}   در C {\displaystyle {\mathcal {C}}}  ، یک ریختار F ( f ) : F ( X ) → F ( Y ) {\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}   در D {\displaystyle {\mathcal {D}}}  . به سخن دیگر، F {\displaystyle F}   به هر پیکان در رده C {\displaystyle {\mathcal {C}}}   یک پیکان در رده D {\displaystyle {\mathcal {D}}}   نظیر می کند به گونه ای که:
فرض کنید C {\displaystyle {\mathcal {C}}}   و D {\displaystyle {\mathcal {D}}}   دو دسته باشند. یک فانکتور F : C → D {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}   عبارتست از یک نگاشت به گونه ای که:
۱. برای هر X ∈ O b ( C ) {\displaystyle X\in Ob({\mathcal {C}})}   داشته باشیم: F ( 1 X ) = 1 F ( X ) {\displaystyle F(1_{X})=1_{F(X)}}   (منظور از 1 X {\displaystyle 1_{X}}   ریختار همانی است.)
۲. برای هر دو پیکان f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y}   و g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z}   در C {\displaystyle {\mathcal {C}}}   داشته باشیم: F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) {\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}  .