قانون تقابل درجه دوم (به انگلیسی: Quadratic reciprocity)، قضیه ای است قدرتمند در شاخه نظریه اعداد از ریاضیات. با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می شود و استفاده از آن متوقف نگشته است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می دهیم.
3 {\displaystyle \;3} به پیمانه 13 {\displaystyle \;13} مانده است زیرا 4 2 ≡ 3 ( mod 13 ) {\displaystyle 4^{2}\equiv 3{\pmod {13}}{\mbox{ }}}
همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.
p {\displaystyle \;p} عددی اول و فرد و a {\displaystyle \;a} عددی صحیح و نسبت به p {\displaystyle \;p} اول است. اگر معادله همنهشتی x 2 ≡ a ( mod p ) {\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ }}} جواب داشته باشد، آنگاه عدد a {\displaystyle \;a} را به پیمانه p {\displaystyle \;p} مانده و در غیر این صورت نامانده می گوییم.
1 2 , 2 2 , 3 2 , ⋯ , ( p − 1 2 ) 2 {\displaystyle 1^{2},2^{2},3^{2},\cdots ,({\frac {p-1}{2}})^{2}}
اگر p {\displaystyle \;p} عددی اول و فرد و a {\displaystyle \;a} عددی صحیح باشند که ( a , p ) = 1 {\displaystyle \;(a,p)=1} تابع لژاندر با نماد ( a p ) {\displaystyle ({\frac {a}{p}})} برابر است با 1 {\displaystyle \;1} اگر a {\displaystyle \;a} در مبنای p {\displaystyle \;p} مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با − 1 {\displaystyle \;-1} . به عبارت دبگر: ( a p ) = { + 1 if x 2 ≡ a ( mod p ) has a root − 1 if x 2 ≡ a ( mod p ) has no root {\displaystyle ({\frac {a}{p}})={\begin{cases}+1\quad \quad {\mbox{if }}x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ has a root}}\\-1\quad \quad {\mbox{if }}x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ has no root}}\end{cases}}}
3 {\displaystyle \;3} به پیمانه 13 {\displaystyle \;13} مانده است زیرا 4 2 ≡ 3 ( mod 13 ) {\displaystyle 4^{2}\equiv 3{\pmod {13}}{\mbox{ }}}
همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.
p {\displaystyle \;p} عددی اول و فرد و a {\displaystyle \;a} عددی صحیح و نسبت به p {\displaystyle \;p} اول است. اگر معادله همنهشتی x 2 ≡ a ( mod p ) {\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ }}} جواب داشته باشد، آنگاه عدد a {\displaystyle \;a} را به پیمانه p {\displaystyle \;p} مانده و در غیر این صورت نامانده می گوییم.
1 2 , 2 2 , 3 2 , ⋯ , ( p − 1 2 ) 2 {\displaystyle 1^{2},2^{2},3^{2},\cdots ,({\frac {p-1}{2}})^{2}}
اگر p {\displaystyle \;p} عددی اول و فرد و a {\displaystyle \;a} عددی صحیح باشند که ( a , p ) = 1 {\displaystyle \;(a,p)=1} تابع لژاندر با نماد ( a p ) {\displaystyle ({\frac {a}{p}})} برابر است با 1 {\displaystyle \;1} اگر a {\displaystyle \;a} در مبنای p {\displaystyle \;p} مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با − 1 {\displaystyle \;-1} . به عبارت دبگر: ( a p ) = { + 1 if x 2 ≡ a ( mod p ) has a root − 1 if x 2 ≡ a ( mod p ) has no root {\displaystyle ({\frac {a}{p}})={\begin{cases}+1\quad \quad {\mbox{if }}x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ has a root}}\\-1\quad \quad {\mbox{if }}x^{2}\equiv a{\pmod {p}}{\mbox{ has no root}}\end{cases}}}
wiki: قانون تقابل درجه دوم