قانون امید ریاضی کل

در نظریه احتمالات قضیه ای وجود دارد که با نام های قانون کل امید ریاضی، قانون امید ریاضی کل(به انگلیسی: Law of total expectation)، قانون برج یا قانون آدام شناخته می شود. این قانون بیان می کند که اگر X {\displaystyle X} متغیری تصادفی باشد که امید ریاضی آن E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)} تعریف شده باشد، و Y {\displaystyle Y} یک متغیر تصادفی دلخواه روی همان فضای نمونه باشد، آنگاه E ⁡ ( X ) = E ⁡ ( E ⁡ ( X ∣ Y ) ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y))} ؛
E ⁡ ( L ) {\displaystyle \operatorname {E} (L)}  امید ریاضی طول عمر لامپ است؛
P ⁡ ( X ) = 6 10 {\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}}   احتمال تولید لامپ خریداری شده توسط کارخانه X {\displaystyle X}  است؛
P ⁡ ( Y ) = 4 10 {\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}}   احتمال تولید لامپ خریداری شده توسط کارخانه Y {\displaystyle Y}  است؛
E ⁡ ( L ∣ X ) = 5000 {\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000}   امید ریاضی طول عمر لامپی است که توسط کارخانه X {\displaystyle X}  تولید شده؛
E ⁡ ( L ∣ Y ) = 4000 {\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000}   امید ریاضی طول عمر لامپی است که توسط کارخانه Y {\displaystyle Y}  تولید شده.
به این معنی که امید ریاضی امید ریاضی X {\displaystyle X} به شرط Y {\displaystyle Y} ، با امید ریاضی X {\displaystyle X} برابر است.
می دانیم که E ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }   تابعی از متغیر تصادفی Y {\displaystyle Y}   است که مقدارش در Y = y {\displaystyle Y=y}   برابر با E ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }   می باشد. توجه کنید که E ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }   خود نیز یک متغیر تصادفی است.
یک خاصیت بی نهایت مهم از امید ریاضی شرطی این است که برای تمام متغیرهای تصادفی X {\displaystyle X}   و Y {\displaystyle Y}   داریم