توزیع دوجمله ای

توزیع دوجمله ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است.در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله ای توزیعی گسسته است از تعداد موفقیت ها در دنباله ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p(توزیع برنولی). در واقع متغیر تصادفی X (تعداد موفقیت ها) را متغیر دوجمله ای با پارامترهای n و p می گویند.
آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق.
احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با q=1-p
آزمون ها مستقل باشند.
یک آزمایش دوجمله ای بایستی دارای ویژگی های زیر باشد:
درحالت کلی اگر X یک متغیر تصادفی دوجمله ای با پارامترهای p,n باشد، آن را به صورت(X ~ B(n, pنمایش می دهیم. احتمال بدست آوردن k موفقیت با تابع جرم احتمال زیر مشخص می شود:
حال می خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست آمده است: توجه کنید که تعداد راه های ممکن در انجام n آزمایش برنولی که می تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a(موفقیتددایالزدبرابززالیددل) و n-k حرف b (شکست). اما تعداد این دنباله ها برابر است با ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}}  ، زیرا تعداد جایگشت های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n-k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}  .باتوجه به استقلال امتحان ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle p^{k}(1-p)^{n-k}}  است داریم: