در فیزیک، رابطه کوبو (انگلیسی: Kubo formula) رابطه ای است که پاسخ خطی یک کمیت مشاهده پذیر را ناشی از یک اختلال وابسته به زمان بیان می کند. یک سامانه ی کوانتومی توصیف شده توسط هامیلتونین وابسته به زمان H 0 {\displaystyle H_{0}} را در نظر می گیریم. برای عملگر A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} خواهیم داشت:
که در آن Z 0 = Tr {\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Tr} \,} تابع پارش است. حال فرض کنیم که پس از زمان t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} یک اختلال به سامانه وارد شده باشد. این اختلال با یک تابعیت زمان در هامیلتونین بیان می شود: H ^ ( t ) = H ^ 0 + V ^ ( t ) θ ( t − t 0 ) , {\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),} که در آن θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} تابع پله ای هویساید بوده و V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}(t)} هرمیتی است، به گونه ای که H ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {H}}(t)} برای t − t 0 {\displaystyle t-t_{0}} دارای یک مجموعه کامل از ویژه مقدارهای حقیقی E n ( t ) . {\displaystyle E_{n}(t).} (وابسته به زمان) است.
تحول زمانی بردارهای حالت | n ( t ) ⟩ {\displaystyle |n(t)\rangle } پیرو معادله شرودینگر است i ∂ t | n ( t ) ⟩ = H ^ ( t ) | n ( t ) ⟩ , {\displaystyle i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle ,} (در تصویر شرودینگر)، اما از آنجایی که V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}(t)} را می توان یک اختلال کوچک قلمداد کرد، ساده تر آن است که نمایش تصویر اندرکنش را در پایین ترین مرتبه به کار گرفت، | n ^ ( t ) ⟩ , {\displaystyle |{\hat {n}}(t)\rangle ,} . تحول زمانی در این تصویر به صورت | n ( t ) ⟩ = e − i H ^ 0 t | n ^ ( t ) ⟩ = e − i H ^ 0 t U ^ ( t , t 0 ) | n ^ ( t 0 ) ⟩ , {\displaystyle |n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle ,} که طبق تعریف برای هر t و t 0 {\displaystyle t_{0}} داریم: | n ^ ( t 0 ) ⟩ = e i H ^ 0 t 0 | n ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle }
تا مرتبه ی خطی در V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}(t)} داریم U ^ ( t , t 0 ) = 1 − i ∫ t 0 t d t ′ V ^ ( t ′ ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')} . بنابراین برای A ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}(t)} به دست می آید:
که در آن Z 0 = Tr {\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Tr} \,} تابع پارش است. حال فرض کنیم که پس از زمان t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} یک اختلال به سامانه وارد شده باشد. این اختلال با یک تابعیت زمان در هامیلتونین بیان می شود: H ^ ( t ) = H ^ 0 + V ^ ( t ) θ ( t − t 0 ) , {\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),} که در آن θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} تابع پله ای هویساید بوده و V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}(t)} هرمیتی است، به گونه ای که H ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {H}}(t)} برای t − t 0 {\displaystyle t-t_{0}} دارای یک مجموعه کامل از ویژه مقدارهای حقیقی E n ( t ) . {\displaystyle E_{n}(t).} (وابسته به زمان) است.
تحول زمانی بردارهای حالت | n ( t ) ⟩ {\displaystyle |n(t)\rangle } پیرو معادله شرودینگر است i ∂ t | n ( t ) ⟩ = H ^ ( t ) | n ( t ) ⟩ , {\displaystyle i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle ,} (در تصویر شرودینگر)، اما از آنجایی که V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}(t)} را می توان یک اختلال کوچک قلمداد کرد، ساده تر آن است که نمایش تصویر اندرکنش را در پایین ترین مرتبه به کار گرفت، | n ^ ( t ) ⟩ , {\displaystyle |{\hat {n}}(t)\rangle ,} . تحول زمانی در این تصویر به صورت | n ( t ) ⟩ = e − i H ^ 0 t | n ^ ( t ) ⟩ = e − i H ^ 0 t U ^ ( t , t 0 ) | n ^ ( t 0 ) ⟩ , {\displaystyle |n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle ,} که طبق تعریف برای هر t و t 0 {\displaystyle t_{0}} داریم: | n ^ ( t 0 ) ⟩ = e i H ^ 0 t 0 | n ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle }
تا مرتبه ی خطی در V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}(t)} داریم U ^ ( t , t 0 ) = 1 − i ∫ t 0 t d t ′ V ^ ( t ′ ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')} . بنابراین برای A ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}(t)} به دست می آید:
wiki: رابطه کوبو