تئوری کارانن لوف

در مبحث فرایندهای تصادفی، قضیۀ کارهونِن-لُواِو (Karhunen-Loève Theorem، به افتخار «کاری کارهونِن» فنلاندی و «میشل لُواِو» فرانسوی)، هم چنین شناخته شده به عنوان قضیه Kosambi-Karhunen-Loève، توصیفی از یک فرایند تصادفی به عنوان ترکیب خطی تعداد نامحدودی از توابع متعامد (شبیه سری فوریه) برای یک فرایند در یک بازهٔ کران دار به دست می دهد (به اشتباه، کارانن-لوف خوانده نشود).
Xt یک فرایند تصادفی با میانگین صفر و انتگرال پذیر برای مربع آن در فضای احتمال (Ω, F, P) تعریف می شود و نمایه آن در بازهٔ بستهٔ با تابع کوواریانس KX(s, t). به این ترتیب:
این تبدیل همچنین با نام های تبدیل هُتِلینگ و تبدیل بردار ویژه نیز شناخته می شود و با تکنیک تحلیل مولفه اصلی (PCA) مرتبط است که به صورت گسترده در بسیاری از زمینه های پردازش تصویر و آنالیز داده استفاده می شود.
در مقایسه با سری فوریه که در آن ها ضرایب، اعداد معیّن (یا قطعی، deterministic) هستند و پایه های (bases) بسط توابع سینوسی هستند، ضرایب در تئوری کارهونن-لُواِو متغیرهای تصادفی هستند و پایه های بسط بستگی به فرایند دارند. می توان گفت این تبدیل به گونه ای با فرایند سازگار می شود که بهترین پایه ها را برای بسط ایجاد کند.
در مورد یک فرایند تصادفی متمرکز {Xt}t ∈ (متمرکز به معنی E = ۰ برای تمام t ∈ ) برای Xt می نویسیم: